6.2. Основные теоремы потребительского выбора

В основе классического подхода к моделированию потребительского спроса, наряду с функциями полезности и расходов, лежат теоремы теории потребительского выбора. Они известны как лемма Шеппарда (теорема 1), тождество Роя (теорема 2) и уравнение Слуцкого (теорема 3). В связи с этим рассмотрим указанные теоремы.

Теорема 1 (лемма Шеппарда). Для функции расходов m(р₁, р₂,u) и функций спроса Хикса х_i⁰ = H_i(p₁,p₂,u) (см. п.п. 6.1.3) справедливо следующее соотношение:

(6.2.1)

Доказательство. Приведем графическое доказательство утверждения (2.1). Пусть переменная u и одна из цен, допустим второго товара, равны, соответственно: u=u*, p₂=p₂*. Тогда функция расходов m(p₁,p₂*,u*) является функцией только переменной р₁. Предположим, что эта функция дифференцируема. Что же является производной функции m(p₁,p₂*,u*) в точке p₁=p₁*? Так как полезность потребительского набора {х₁⁰=H₁(p₁*,p₂,*u*), х₂⁰=H₂(p₁*,p₂*,u*)} равна u*, то выполняется следующее соотношение:

m(p₁,p₂*,u*)≤p₁ H₁(p₁*,p₂,*u*)+p₂*H₂(p₁*,p₂*,u*). (6.2.2)

Следовательно, (см. рис.6.2.1) все точки графика функции, стоящей в правой части неравенства (6.2.2), расположены над (выше) точками графика функции m(p₁,p₂*,u*), соответствующей левой части неравенства (6.2.2). При p₁=p₁* графики функций m(p₁,p₂*,u*) и p₁ H₁(p₁*,p₂,*u*)+p₂*H₂(p₁*,p₂*,u*) касаются.

Функция p₁H₁(p₁*,p₂,*u*)+p₂*H₂(p₁*,p₂*,u*) - линейна по p₁ и, следовательно, является касательной к графику функции m(p₁,p₂*,u*) в точке p₁=p₁*. Таким образом, производные функций, образующих левую и правую части неравенства (6.2.2), в точке p₁=p₁* равны и, следовательно,

, что и требовалось доказать.

Теорема 2 (тождество Роя). Для функций спроса Маршалла и функции косвенной полезности справедливо следующее соотношение

, (6.2.3)

или

. (6.2.3 а)

Доказательство. Допустим, что х₁* и х₂* - решение задачи потребительского выбора (6.1.12), (6.1.13), т.е. х₁*=D₁(p₁,p₂,M) и х₂*=D₂(p₁,p₂,M). Пусть u*=U(x₁*,x₂*). Тогда можно утверждать (см. п.п. 1.3), что в точке (х₁*, х₂*):

х₁*=H₁(p₁,p₂,u*);

х₂*=H₂(p₁,p₂,u*);

М=m(p₁,p₂,u*).

Следовательно, для фиксированного значения u* и любых p₁, p₂, u*≡v[p₁,p₂,m(p₁,p₂,u*)]. Продифференцируем последнее тождество по p_i (i=1,2). С учетом правила дифференцирования сложных функций, получим:

(6.2.4)

Используя лемму Шеппарда, заменим ∂m/∂p_i на H_i(p₁,p₂,u*) и перепишем (6.2.4) в виде:

. (6.2.5)

Поскольку в точке (х₁*, х₂*) H_i(p₁,p₂,u*)=x_i*=D_i(p₁,p₂,M), то из (6.2.5) следует

. Так как М=m(p₁,p₂,u*), то из последнего соотношения непосредственно следует утверждение теоремы.

Теорема 3 (уравнение Слуцкого). Для функций спроса Маршалла х₁*=D₁(p₁,p₂,M), х₂*=D₂(p₁,p₂,M) и функций спроса Хикса х₁⁰=H₁(p₁,p₂,u*), х₂⁰=H₂(p₁,p₂,u*) справедливы следующие соотношения:

, (6.2.6)

где величина Маршаллианского спроса оценивается при заданных ценах p₁,p₂ и доходе M, а величина спроса по Хиксу – для уровня полезности U(x₁^*,x₂^*)=u*, соответствующего найденной точке (x₁*, x₂*) Маршаллианского спроса.

Доказательство. Запишем тождество D_j[p₁,p_2,m(p₁,p₂,u^*)]≡H_j(p₁,p₂, u^*), (j=1,2). Оно означает, что в точке оптимума спрос по Маршаллу совпадает со спросом по Хиксу. Продифференцируем обе части этого тождества по переменной p_i (i=1,2). Получим:

. (6.2.7)

Согласно теореме 1, . Поэтому (6.2.7) можно переписать в виде: .

Заменив фиктивные переменные (постоянные величины, записанные в виде переменных), получим соотношение (6.2.6), которое известно как уравнение Слуцкого.