2. Построение модели р. Джонса

Дальнейшая наша задача состоит в том, чтобы изложить способ построения модели Джонса. Найденное выше численное решение нелинейной задачи может быть использовано для вычисления коэффициентов модели Джонса и последующего ее численного решения.

Приступим к этим преобразованиям. Используя предположение об однородности первой степени производственных функций (5.2.4), (5.2.5) и условия оптимальности (5.2.13) - (5.2.16) запишем следующие выражения:

(5.3.1)

(5.3.2)

или

(5.3.3)

(5.3.4)

где , фондоемкости первого и второго продуктов, , трудоемкости этих продуктов.

С использованием указанных коэффициентов преобразуем также равенства (5.2.1), (5.2.7):

(5.3.5)

(5.3.6)

Далее уравнения (5.3.3) - (5.3.6) являются исходными при построении модели Джонса. В системе уравнений (5.3.3) - (5.3.6) переменными являются валовые выпуски отраслей , и , и цены используемых факторов (капитала и труда) и .

Переменные и параметры в модели Джонса являются темпами прироста соответствующих величин. Если данная величина является темпом прироста, то это будем отмечать крышкой над соответствующей переменной или параметром. Например, темп прироста доли добавленной стоимости в цене для первой отрасли обозначим следующим образом:

Сначала займемся преобразованием уравнений (5.3.3), (5.3.4) с целью записи аналогов этих уравнений в темпах прироста используемых в них величин. Запишем полные дифференциалы для и , считая, что изменяться могут не только переменные модели, но и ее параметры:

(5.3.7)

(5.3.8)

Разделим далее левую и правую части уравнения (5.3.7) на , a уравнения (5.3.8) на , и после несложных преобразований получим:

(5.3.9)

(5.3.10)

где и - эластичности выпуска по капиталу, а и - эластичности выпуска по труду соответственно в первой и во второй отрасли.

Займемся теперь преобразованием равенств (5.3.5), (5.3.6) также с целью записи аналогов этих равенств в темпах прироста переменных и параметров. Запишем полные дифференциалы для и, считая как и ранее, что изменяться могут как переменные модели, так и ее параметры:

. (5.3.11)

(5.3.12)

Разделив обе части равенства (5.3.11) на К и равенства (5.3.12) на L, после несложных преобразований получим:

(5.3.13)

(5.3.14)

где , , , .

Коэффициенты в модели Джонса , , , характеризуют распределение капитала и труда по отраслям, и, естественно, они могут быть рассчитаны лишь тогда, когда известно само это оптимальное распределение, т.е. после того как найдено решение исходной оптимизационной задачи. Правда, обычно предполагается, что рыночная экономика обеспечивает именно оптимальное распределение факторов между отраслями и, следовательно, как бы неявно предполагается, что существующее распределение факторов по отраслям - оптимально. Это утверждение, однако, легко опровергнуть, если учитывать внешние эффекты (в частности такие, как деградация природы под воздействием производственной и бытовой деятельности).

Важным шагом в построении модели Джонса является выражение темпов прироста фондоемкостей и трудоемкостеи через темпы прироста цен на факторы производства.

Однако прежде чем приступить непосредственно к выполнению этой задачи, выведем некоторые вспомогательные формулы. Прежде всего докажем, что эластичность замещения может быть выражена следующим образом:

(5.3.15)

Действительно, эластичность замещения между двумя факторами (в данном случае капитал и труд) по определению равна:

(5.3.16)

С учетом вытекающего из условий оптимальности равенства предельной нормы замещения отношению цен на факторы, следовательно имеем:

(5.3.17)

Далее нетрудно доказать, что:

(5.3.18)

По аналогии с (5.3.18) записываем:

(5.3.19)

Подставив теперь (5.3.18) и (5.3.19) в (5.3.17), получим формулу (5.3.15).

Таким образом, для производственных функций двух отраслей получаем следующие два равенства:

(5.3.20)

(5.3.21)

По аналогии с тем, как были получены выражения (5.3.18), (5.3.19), запишем:

и, следовательно, темп прироста фондоемкости первой отрасли равен:

(5.3.22)

Аналогичные выражения получаем для темпа прироста фондоемкости продукции во второй отрасли и для темпов прироста трудоемкости в первой и во второй отрасли:

(5.3.23)

(5.3.24)

(5.3.25)

Заметим далее, что производственная функция может быть записана в темпах прироста и это дает нам следующие два равенства:

(5.3.26)

(5.3.27)

Наконец, формулы для темпов прироста фондоемкости и трудоемкости соответственно в первой и во второй отраслях с учетом выведенных нами равенств (5.3.22) - (5.3.27) и с использованием формул (5.3.20), (5.3.21) после несложных преобразований принимают вид:

(5.3.28)

(5.3.29)

(5.3.30)

(5.3.31)

Подставляя далее в уравнения (5.3.9), (5.3.10) и (5.3.13), (5.3.14) значения темпов прироста фондоемкости и трудоемкости (5.3.28) - (5.3.31), получаем уравнения модели Джонса:

(5.3.32)

(5.3.33)

(5.3.34)

(5.3.35)

где

Напомним, что в этой модели переменными являются темпы приростов продуктов и темпы приростов цен труда и капитала . Величины , , , , , - заданы. Параметрами модели являются

Решение модели находим путем обращения матриц и .

Заметим, что определители этих матриц соответственно равны и . Модель Джонса является удобным инструментом анализа, поскольку ее решение найти легко. Хотя, конечно, в известной степени это видимость легкости, ибо, чтобы построить модель Джонса, повторим, надо предварительно найти решение исходной нелинейной модели. Но гораздо более крупным недостатком рассматриваемой нами модели Джонса является то, что матрица является вырожденной:

.

Это означает, что увеличение размерности модели за счет увеличения числа отраслей возможно лишь при соответствующем увеличении числа используемых факторов, чтобы матрицы коэффициентов при неизвестных темпах прироста валовых выпусков и при неизвестных темпах прироста цен на факторы оказывались бы квадратными.

Значение модели Джонса (кроме оригинальности ее построения) состоит в том, что она усиливает результаты, полученные Рыбчинским и Столпером-Самуэльсоном.

Заметим предварительно, что неравенства:

эквивалентны, ибо два последних могут быть преобразованы в первое неравенство и, следовательно, все три неравенства выполняются одновременно.

Допустим, что цена на первый товар возросла, а на второй не изменилась. Допустим также, что относительная фондоемкость первого товара выше, чем второго. Из этого следует по утверждению Столпера-Самуэльсона, что возрастет оплата капитала, а оплата труда снизится. Поскольку в правых частях уравнений (5.3.32), (5.3.33) в модели Джонса стоят неотрицательные слагаемые технического прогресса (который, по-видимому, будет выше в первой отрасли из-за роста цен на ее продукцию), постольку оплата капитала возрастет выше, чем в модели Столпера-Самуэльсона, которая без учета технического прогресса и записанная в темпах прироста эквивалентна уравнениям (5.3.32) - (5.3.33). Пусть далее, как в модели Рыбчинского, возрастает капитал при неизменном темпе роста труда. Тогда при принятых предположениях страна будет специализироваться на производстве первого товара. В модели Джонса этот эффект проявится сильнее из-за роста правой части уравнения (5.3.34) и уменьшения правой части уравнения (5.3.35) после перенесения слагаемых, содержащих оплату труда и капитала, в правую часть.

Заключение

В конце XX начале ХХ1 веков в направлениях и структуре международной торговли происходят существенные сдвиги, которые не всегда объясняются классической теорией международной торговли. Это приводит к необходимости расширения спектра моделей описывающих этот процесс. Такое расширение, в частности, идет по пути учета нелинейности связей между факторами и результатами производства. Учет нелинейностей обеспечивает большую адекватность моделей реальному процессу. В частности в рамках нелинейной модели удается объяснить отклонения характеристик реальных процессов от постулируемых теоремами Т. Рыбчинского и П. Самуэльсона.