5.2. Статическая нелинейная макроэкономическая модель, лежащая в основе модели р.Джонса

Далее мы рассматрим статическую нелинейную макроэкономическую модель (два продукта и два фактора) и ее преобразование в линейную модель с переменными, характеризующими темпы приросты выпусков отраслей и цен на используемые факторы. Эта линейная модель известна под названием модели Джонса (Рональд Джонс).

В экономической литературе отмечают, что значение модели Джонса состоит в усилении тех результатов, которые дают нам модели Рыбчинского и Столпера-Самуэльсона. Однако эти усиленные результаты можно получить и в рамках рассматриваемой нами предварительно нелинейной модели. И все же модель Джонса заслуживает внимания с точки зрения методики преобразования, делающей эту модель линейной. С этой целью данная модель включена в нашу лекцию.

При построении модели Джонса мы учтем и межотраслевые связи. Их учет не представляет принципиальных трудностей, но делает модель Джонса более содержательной.

Основными конструктивными блоками нашей модели являются:

модель межотраслевого баланса;

производственные функции отраслей.

Последние описывают зависимость валового выпуска в отрасли от затрачиваемых труда и капитала.

Построение модели мы продемонстрируем на примере двух отраслей (продуктов) и двух факторов (см. табл. 5.2.1). К сожалению, как это будет показано ниже, непосредственное ее обобщение для n отраслей возможно лишь при соответствующем увеличении количества факторов до n.

Валовой выпуск первой отрасли обозначим через , а второй отрасли – через . Конечные выпуски отраслей обозначим соответственно через и . Коэффициенты прямых затрат промежуточной продукции обозначим .

Обозначим далее через и затраты труда и капитала в первой отрасли, а через и - во второй. Под затратами капитала обычно понимают стоимость основных фондов, используемых в данной отрасли для производства продукции. Используемые в разных отраслях основные фонды будем считать однородными или, иначе говоря, величины , будем полагать аддитивными.

Аналогично будем считать затраты труда в разных отраслях однородными величинами.

Обозначим также через p₁, p₂ цены на продукцию отраслей. Будем полагать эти цены внешне заданными величинами.

Указанные данные сведем в таблицу

Таблица 5 2.1

Отрасли12Конечный выпускВаловой выпуск1a₁₁a₁₂y₁x₁2a₂₁a₂₂y₂x₂Затраты трудаL₁L₂LЗатраты капиталаК₁К₂КЦена продукцииp₁p₂

Будем полагать, что задача заключается в определении рациональной специализации экономики государства. Рациональная специализация определяется объемами конечной продукции отраслей, обеспечивающими максимизацию суммарной стоимости произведенной продукции. Она достигается рациональным распределением капитала и трудовых ресурсов государства между отраслями экономики.

Формально эта задача может быть представлена в виде следующей модели:

Определить L₁, L₂, K₁, K₂ , обеспечивающие

(5.2.1)

при ограничениях

(5.2.2)

(5.2.3)

(5.2.4)

(5.2.5)

(5.2.6)

(5.2.7)

где

уравнения (5.2.2)-(5.2.3) - обычная модель межотраслевого баланса;

уравнения (5.2.4)- (5.2.5) - производственные функции соответственно первой и второй отрасли (предполагается, что это производственные функции с постоянной эластичностью замещения (CES) и однородные первой степени);

уравнения (5.2.6), (5.2.7) означают, что капитал и труд свободно перемещаются из отрасли в отрасль, а общие запасы труда и капитала - фиксированы.

Подставим значения Х₁ и Х₂ из соотношений (5.2.4), (5.2.5) в (5.2.2), (5.2.3), разрешим полученные соотношения относительно Y₁, Y₂ и подставим их значения в (5.2.1). В результате от исходной модели (5.2.1) – (5.2.7) переходим к модели

(5.2.8)

(5.2.9)

(5.2.10)

где

(5.2.11)

(5.2.12)

Как видим, здесь и , если считать как обычно в модели межотраслевого баланса цены нормированными и равными единице, означают долю добавленной стоимости в цене.

Напомним, что в задаче (5.2.8) – (5.2.10) величины , и считаются заданными, а , , , - искомыми.

Зная распределение труда и капитала по отраслям, можно рассчитать валовые X₁ X₂ и конечные Y₁, Y₂ выпуски отраслей.

Задача (5.2.8) – (5.2.10) представляет собой задачу поиска условного экстремума функции переменных , , , . Для ее решения воспользуемся методом Лагранжа. Обозначим множители Лагранжа для ограничений (5.2.9), (5.2.10) через и , соответственно.

Тогда функция Лагранжа для задачи (5.2.8) – (5.2.10) имеет вид

.

Находя производные функции Лагранжа по переменным задачи и по множителям Лагранжа, получаем следующую систему уравнений:

(5.2.13)

(5.2.14)

(5.2.15)

(5.2.16)

(5.2.17)

(5.2.18)

Искомыми величинами здесь являются , , , , , . Следовательно, имеем систему из шести алгебраических уравнений с шестью неизвестными. Если задача (5.2.8) – (5.2.10) имеет решение, то оно достигается при значениях , , , , удовлетворяющих этой системе уравнений. Зная величины , , , , можно определить рациональные валовые , и конечные выпуски отраслей.

Найти решение сначала в общем виде, а затем и в численном, можно, вводя дополнительные предположения об используемых производственных функциях и данные, необходимые для численных расчетов.

Для отыскания решения в общем виде достаточно уточнить вид производственных функций. Будем полагать, что выпуск продукции отраслями может быть описан производственными функциями Кобба – Дугласа:

(5.2.19)

. (5.2.20)

При таком предположении величины , , , определяются соотношениями:

Валовые выпуски , продукции отраслей получаются подстановкой величин , , , в соотношения (5.2.19), (5.2.20).

Конечные выпуски продукции отраслей получаются подстановкой значений их валовых выпусков в соотношения (5.2.2), (5.2.3).

Пример. Для численного решения задачи предлагаем следующие данные: