6. Модель идеального газа. Соударения молекул со стенками сосуда и между собой. Средняя длина свободного пробега молекул идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа утверждает:

Произведение давления идеального газа на его объем пропорционально плотности числа молекул в газе и средней кинетической энергии поступательного движения отдельной молекулы, т.е.

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Соударения молекул

Схема упругих соударений молекул идеального газа: 1 - со стенкой, расположенной в плоскости YOZ, 2 - со стенкой, расположенной в плоскости XOZ , 3 - двух одинаковых молекул между собой.

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние (обозначаемое ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.

Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (<λ>). Величина <λ> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

, где — эффективное сечение молекулы, — концентрация молекул.

7. Функция распределения Максвелла молекул газа по проекции скорости. Нормировка функции распределения. Графики функции распределения при различных температурах

Распределение Максвелла для вектора скорости [vx, vy, vz] — является произведением распределений для каждого из трех направлений:

где распределение по одному направлению:

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Нормировка функции распределения

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

График функции распределения при различных температурах

8. Функция распределения Максвелла молекул газа по модулю скорости. Графики функции распределения при различных температурах. Расчет вероятности с помощью функций распределения Максвелла.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы.

9. Функция распределения Максвелла молекул газа по модулю скорости. Характеристические скорости молекул идеального газа. Расчет наиболее вероятной и средней скорости молекул

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

Наиболее вероятная скорость, как показал Максвелл, зависит от температуры газа и массы его молекул по формуле .

Такому распределению подчиняются молекулы всевозможных веществ в различных состояниях при данной температуре. Если увеличить температуру (T2 > T1), то кривая сместится вправо, наиболее вероятная скорость возрастет, появится больше быстрых частиц, уменьшится число медленных частиц и даже тех, которые движутся со скоростями, близкими к наиболее вероятной. Площади под кривыми будут одинаковыми, так как общее число частиц N не изменяется.

Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем

10. Безразмерная скорость молекул газа. Функция распределения Максвелла по безразмерной скорости

Максимум функции fυ (y) соответствует значению y= 1, поэтому наиболее вероятная скорость равна

.

11. Функция распределения молекул газа по кинетической энергии поступательного движения. Наиболее вероятная и средняя энергия поступательного движения.

12. Функция распределения Максвелла молекул газа по модулю скорости. Экспериментальная проверка распределения Максвелла – опыт Штерна.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы.

Опыт Штерна — опыт, впервые проведённый немецким физиком Отто Штерном в 1920 году. Опыт явился одним из первых практических доказательств состоятельности молекулярно-кинетической теории строения вещества. В нём были непосредственно измерены скорости теплового движения молекул и подтверждено наличие распределения молекул газов по скоростям.

где s — смещение полосы, l — расстояние между цилиндрами, а u — скорость движения точек внешнего цилиндра