Плоская задача теории упругости

Треугольный плоский элемент с тремя узлами

Предположим, что дискретная модель разработана. Элементы соединены друг с другом в узлах.

Выделим из дискретной модели КЭ с вершинами 1, 2, 3. Действие отброшенных элементов заменим усилиями. .

Так как положение КЭ в пространстве (на плоскости) определяется вектором узловых перемещений элемента , содержащим шесть компонентов узловых перемещений, то это позволяет предположить закон изменения по полю КЭ в виде:

(1)

- горизонтальное и вертикальное перемещения текущей точки КЭ.

Или:

, (2)

где - вектор перемещений.

(3)

.

Подстановка значений узловых координат в (2) дает:

, (4)

где

(5)

Отсюда (6)

Подставляя в (2), получаем связь между и :

, (7)

где .

Выражение (7) определяет распределение перемещений по полю элемента в зависимости от узловых перемещений и в развернутой форме имеет вид:

(8)

где - удвоенная площадь треугольного КЭ.

, (9)

Деформированное состояние элемента характеризуется вектором деформаций , компоненты которого определяются зависимостями Коши:

(10)

или в векторной форме с учетом (1) и (6):

(11)

где , (12)

получающаяся в результате дифференцирования выражения (1) по зависимостям Коши.

Развернутое выражение (11) получается из непосредственного дифференцирования выражений (8), т.е.:

(13)

или в матричной форме

(14)

где

Из сравнения выражений (11) и (14) видно, что

.

Напряженное состояние элемента определяется вектором напряжений , который на основании закона Гука ………. материала связан с зависимостью

, (16)

где - (17)

- матрица упругих характеристик материала.

Здесь , - модули нормальной упругости соответственно вдоль оси х и у;

- коэффициент Пуассона. характеризующий сокращение в направлении оси у при растяжении вдоль оси х;

- коэффициент Пуассона. характеризующий сокращение в направлении оси х при растяжении вдоль оси у;

- модуль сдвига плоскости ху.

Так как коэффициент Пуассона и модули нормальной упругости должны удовлетворять соотношению = , то матрица симметрична.

Если исключить теперь с помощью (11) вектор из (16), то получим выражение, определяющее напряжения в КЭ по известным значениям его узловых перемещений

, (18)

где - матрица напряжений, развернутое выражение которой имеет вид

(19)

здесь .

Теперь, когда напряженное (18) и деформированное (11) состояние КЭ определяются через его узловые перемещения, можно определить матрицу жесткости КЭ.

Из теории упругости известно, что потенциальная энергия деформации КЭ определяется выражением

, (20)

где h – толщина КЭ,

или в матричной форме

(21)

Подставляя сюда (14) и (18) и учитывая правило транспортирования произведения матриц, получим:

(22)

где - (23)

- искомая матрица жесткости КЭ, которая устанавливает зависимость между узловыми усилиями и узловыми перемещениями КЭ, т.е.

(24)

Выражение изгибающих моментов и перерезывающих сил по длине элемента будут иметь вид с исправлениями (26):

Условия, действующие на элемент в узлах, будут:

при x = 0:

при x = l:

В результате получим выражения, совпадающие с (13а). Отличие состоит только в знаках во второй и третьей строках.

Это связанно с принятым правилом знаков в МКЭ и правилом знаков при выводе дифференциального уравнения в сопротивлении материалов.

Из сравнения рисунков следует, что знаки надо сменить в выражениях для и . В результате с учетом знаков получаем зависимость между узловыми усилиями и распределенной нагрузкой.

(30)

Последнее слагаемое определяет внешнюю узловую нагрузку, эквивалентную внешней распределенной нагрузке.

Такие реакции возникают в жесткозаделанной балке.

Балочный элемент, работающий на изгиб и растяжение-сжатие в одной плоскости.

Для получения МЖ призматического элемента вводится система координат xoy и общая система координат XOY

Элемент загружен узловыми усилиями , ориентированные в местной системе координат, и его положение определяется вектором перемещений , ориентированных также в местной системе координат.

Положение элемента полностью определяется шестью узловыми перемещениями, поэтому делается следующее предложение о законе измерения поперечного прогиба

(31)

И продольных деформаций вдоль оси элемента

, (32)

где - коэффициенты, подлежащие определению.

Использую (31) и (32) можно найти узловые перемещения

п ри х = 0: ; ; ;

при х = L: ; ;

Отсюда можно определить через узловые перемещения

или в развернутом виде:

(35)

Потенциальная энергия деформации элемента в случае совместных изгибных и продольных деформаций имеет вид:

(36)

где с учетом (31) и (34)

(37)

(38)

или

(39)

(40)

Подставив (39) и (40) в (36), получим

(41)

Где (42)

- искомая матрица жесткости плоского блочного элемента в местной системе координат.

Производя интегрирование и перемножение матриц в (42), получим окончательное выражение матрицы жесткости призматического элемента в местной системе координат.

(43)

Матрицу жесткости (43) можно использовать в расчетах балочных конструкций, если направление общей системы координат совпадает с направлением местной системы (например, прямолинейная балка). Однако в реальных конструкциях (например, шпангоутная рама) элементы имеют различную ориентацию. Поэтому необходимо иметь матрицу жесткости в общей системе координат, тоесть узловые усилия и перемещения должны быть ориентированы как показано на рисунке. Для этого необходимо выразить узловые перемещения в местной системе через узловые перемещения в общей системе координат

(44)

или (45)

где – матрица преобразования координат (матрица направляющих косинусов). Она является ортогональной, так как ;

; – направляющие косинусы продольной оси элемента относительно осей и .

– длина элемента;

координаты узлов элемента в общей системе координат.

Подставляя (45) в (41), получим потенциальную энергию элемента через его узловые перемещения в общей (глобальной) системе координат:

(46)

Отсюда получаем матрицу жесткости в общей системе координат через матрицу жесткости в местной системе координат:

(47)

Чтобы оценить прочность КЭ, необходимо распологать знаниями его внутренних усилий, выраженных через узловые перемещения в общей системе координат. Это соотношение можно получить, если подставить (45) в (13):

(48)

Где матрица усилий, развернутое выражение которой имеет вид:

Определение эквивалентной узловой нагрузки

Пусть произвольно ориентированный элемент загружен поперечной нагрузкой. Требуется определить эквивалентную узловую нагрузку в общей системе координат.

Для определения воспользуемся принципом возможных перемещений, на основании которого можно записать:

(49)

Т.е. работа эквивалентной узловой нагрузки на возможных перемещениях узлов равна работе распределенной нагрузки по длине элемента на возможных перемещениях его сечений.

Здесь – перемещение сечений перпендикулярных оси КЭ.

Выражение (31) можно записать как:

(50)

Или с учетом (34) т.е. функция прогиба через узловые перемещения в местной системе. Если сравнить с (28), то видно, что в произведении заложены функции Эрмита при изгибе.

т.е. функция прогиба через узловые перемещения в глобальной (общей) системе координат.

Подставим вариацию перемещений сечений в (49).

Здесь учтено, что матрицы и от не зависят

В результате, после сокращения на , получим выражение узловых эквивалентных усилий в глобальной системе координат

(51)

В случае, если на КЭ действует равномерно-распределенная нагрузка , то

При принятом правиле знаков для