Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
78
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
222.21 Кб
Скачать

Основные соотношения комбинаторики

Литература

1) Бронштейн Е.М. Комбинаторика в задачах. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

1. Основной принцип комбинаторики.

1.1. От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом, теплоходом, а от Уфы до райцентра поездом, самолетом, автобусом. Сколькими способами можно в совокупности добраться от Москвы до райцентра через Уфу?

1.2. Есть конверты без марок 5 видов и марки 4 видов. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

1.3. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего нужно выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

1.4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белую и черную клетки, не лежащие на одной горизонтали или вертикали?

1.5. (Обобщение). Если элемент а1можно выбрать n1способами, после каждого выбора следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2способами, …, после выбора элементов а1, …, аk-1 элемент аkвыбирается nkспособами, т.е.

a1n1,

a2n2,

………

amnm,

то сколькими способами можно выбрать вектор (a1, …,am)? Ответ:n1n2…nm.

Ответ задачи 1.5 называется основным принципом комбинаторики или принципом произведения.

2. Размещение с повторениями

2.1. Замок в автоматической камере хранения содержит 4 диска, на каждом из которых записаны цифры 0,1,…,9. Сколько различных кодов можно получить?

2.2. В группе из 25 человек разыгрывается три различных приза. Призы могут достаться одному человеку, двоим, троим. Сколькими способами призы могут распределиться?

2.3. В пачке 20 экзаменационных билетов. Каждый студент получает билет, отвечает на него, билет возвращается в пачку и после этого заходит следующий студент. Сколько различных вариантов раздачи билетов существует для 10 студентов?

2.4. На складе имеется 7 рулонов ткани различных цветов и 5 различных стульев. Каждого рулона достаточно для обивки всех стульев. Сколькими способами можно обить стулья?

2.5. (Обобщение). В пачке n карточек с номерами. Исследователь достает карточку, записывает номер и возвращает карточки назад. После этого он снова достает карточку и т.д. Сколько различных записей может быть после того, как доставалось k карточек? . (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. считаются разными.) Ответ:.

3. Размещение без повторений

3.1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков на любой другой? А если языков 10?

3.2. Каков будет ответ в задаче 2.2, если каждый человек может получить лишь один приз?

3.3. Каков будет ответ в задаче 2.3, если экзаменатор не возвращает в пачку использованный билет?

3.4. Каков будет ответ в задаче 2.4, если каждого рулона ткани хватит только на один стул?

3.5. Пусть в коробке имеется nкарточек. Достается одна из них, причем в коробку не возвращается. Так повторяетсяkраз. Сколько существует различных комбинаций выбора карточек. (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. также считаются разными.

3.5. (Обобщение). Пусть дано множество А, содержащее n элементов. Сколько существует различных векторов в множестве Аk, все компоненты каждого из которых различны?

Ответ: - число размещений из n по .k.

4. Перестановки

4.1. Сколькими способами можно сформировать очередь из 5 человек?

4.2. Каков будет ответ в задаче 3.3, если студентов 20?

4.3. Каков будет ответ в задаче 3.4, если стульев 7?

  1. (Обобщение). Сколькими способами элементы n- элементного множества А можно расположить в цепочку?

Ответ: Рn=n(n-1)…1=n! - число перестановок из n.

Соседние файлы в папке Лекции по дискретной математике