Лекции по дискретной математике / LECT17
.DOCЛекция № 17 (18.04.00)
Замкнутые классы
1) Обозначим через
- класс всех булевых функций
,
сохраняющих константу 0, т.е. функций,
для которых выполняется равенство
.
При добавлении несущественной переменной равенство не меняется.
Функции
,
.
Количество таких функций
(n – число переменных)
т.к. в первой строке всегда содержит 0.
(У второй половины 1).
T0 – замкнутый класс, т.к. если
,
то
.
2) Обозначим через
- класс всех булевых функций
,
сохраняющих константу 1, т.е. функций,
для которых выполняется равенство
.
Класс вместе с любой функцией содержит равную ей функцию.
Функции
,
.
Класс
состоит из функций двойственных классу
(следует из определения).
Поэтому все свойства класса
переносятся на класс
.
.
3) S – класс – класс всех
самодвойственных функций, т.е.
.
Функции
,
,
т.к.
Для
самодвойственной функции имеет место
тождество
.
Тем самым на наборах
и
ф-я принимает противоположные значения
(определяется половиной комбинаций
xi).
Поэтому число самодвойственных функций
равно
.
Докажем, что класс S замкнут.
Пусть
,
,
т.е.
.
Тогда
.
4. Обозначим
,
,
.
опр || Для 2х наборов
и
выполнено отношение предшествования
,
если
.
Пример.
Очевидно, что если
.
Таким образом, множество всех наборов
длины n по отношению к
операции предшествования
является частично упорядоченным.
Опр. || функция
называется монотонной, если для любых
2х наборов
таких, что
выполняется неравенство
.
Монотонные функции:
,
- не монотонны
Обозначим M – множество всех монотонных функций. Нужно доказать, что этот класс замкнутый.
Пусть
,
,
.
Будем считать, что все fi зависят от x1, xn.
Пусть
два набора переменных длины n,
причем
.
Тогда
,
………………
,
следовательно
,
тогда и
.
Тем самым
.
5) L – класс всех линейных функций
О замкнутости этого класса мы упоминали
ранее. Кличество линейных функций
.
Эти замкнутые классы не тождественны и они не полны, что следует из таблицы
-
T0
T1
S
M
L
0
+
-
-
+
+
1
-
+
-
+
+
-
-
+
-
+
Теорема о функциональной полноте.
Для того, чтобы система функций
была полной, необходимо и достаточно,
чтобы она целиком не содержалась ни в
одном из 5 замкнутых классов T0,
T1, S,
M, L.
(Без док-ва).
Опр. Класс R из
(множество всех булевых функций)
называется предполным или максимальным,
если для любой ф-ции f (
)
класс
полный.
В алгебре логики
только 5 предполных классов:
.
Пример.
система
полна.
С другой стороны, удаление любой из функций приводит к неполной системе
Пример 2.
Система функций B={x1x1},
полна так как
не сохраняет константы, не линейна, не
самодвойственна (
)
и не монотонна (последний ноль – после
1).
Теорема || из всякой полной в
системы функций B можно
выделить полную подсистему, содержащую
не более 4х функций.
(Без док-ва).
Понятия многозначной логики.
Оценка погрешности.
k – знач. логика
k – катур. Число
множество значений, которые может
принимать функция
опр ||
называется k-значной
логикой, если в
наборе
значения переменных
,
где
значение
Элемент функции k-значной логики
1) константы: 0,1,…,k-1
2) отрицание Роста:
3) отрицание Лукасевича:
4) Характеристическая функция Iго
рода
5) Характеристическая функция 2го рода:
6)
7)
8)
сумма по модулю k
9)
произведение
10) усеченная разность
11)
12) Функция Вебба:
13)
Свойство функций:
выполняются свойства коммутативности и ассоциативности, дистрибутивность, умножение относительно сложения
Дистрибутивность операции max относительно min
-
x
y
z
I
II
1
2
3
z
z
1
3
2
z
z
2
1
3
z
z
2
3
1
x
x
3
1
2
z
z
3
2
1
y
y
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
Дистрибутивность операции min относительно max
