Шпоры по дискретной математике1

19. Элементарные функции алгебры логики Обозначения: E₂={0,1}; Е= E₂E₂...E₂ – прямое произведение n сомножителей; (x,..,x_n) E₂, | E₂| – мощность E₂, |E₂|=2, тогда |Е|=2ⁿ. Определение 1. Функцией алгебры логики называется закон, осуществляющий отображение Е E₂, причем отображение всюду определено и функционально. Так как множество Е конечно, то задать отображение Е E₂, означает задать множество наборов из Е и для каждого набора указать его образ в Е ₂. Определение 2. Таблица, задающая функцию f(x₁,x₂,...,x_n), называется таблицей истинности для этой функции. функция записывается f₃(x)1 и называется константой 1. Если стандартным расположением переменной x считать 0 в первой строке и 1 во второй, то функции f₀, f₁, f₂, f₃ определяются однозначно наборами значений: f₀=(0,0), f₁=(0,1), f₂=(1,0) и f₃=(1,1). Наборы значений функций составляют множество E₂Е₂, поэтому количество функций одной переменной равно |E₂E₂|=4. Для удобства функции пронумерованы так, что двоичный код номера совпадает с набором значений функции.

Рассмотрим функции двух переменных f(x₁,x₂). Функции двух переменных определены на множестве Е={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, эти наборы переменных из Е можно тоже рассматривать как двоичные коды чисел 0,1,2,3, именно такой порядок расположения наборов (x₁,x₂) будем считать стандартным. Тогда функции f(x₁,x₂) определяются однозначно наборами значений __, ₃₄), где каждое _iE₂, поэтому __ ₃, ₄Е. Следовательно, число функций двух переменных равно 2⁴=16.

Cимволы , участвующие в обозначениях элементарных функций, называются логическими связками или просто связками. Переменные 0 и 1 называются логическими или булевыми переменными, причем 0 соответствует «лжи» , а 1 – «истине», а функции алгебры логики называются еще и блевыми функциями.

Рассмотрим функции f(x₁...x_n), где (x₁...x_n) Е, тогда число наборов (x₁...x_n),где функция f(x₁...x_n) должна быть задана, равно |Е|=2ⁿ. Обозначим множество всех функций двузначной алгебры логики Р₂. Обозначим через Р₂(n) число функций, зависящих от n переменных. Очевидно, Р₂(n)=2^{2 n}.

С ростом n число Р₂(n) быстро растет: P₂(1)=4, P₂(2)=16, P₂(3)=256, P₂(4)=65536 . При больших n табличный способ задания функций становится неприемлемым, используется формульное задание функций. Но прежде чем ввести понятие формулы, дадим определение существенной переменной.

Определение 3. Функция f(x₁,...,x_i–1,x_i,x_i+1,...,x_n) существенно зависит от х_i, если существуют такие значения ____nпеременных x₁, ...x_i–1, x_i+1, ...x_n, что f(₁, ..._i–1  _i+1_nf₁..._i–1  _i+1_n) . Тогда переменная х_i называется существенной переменной. В противном случае х_i называется фиктивной переменной.

1. Законы склеивания:

xyx=x(y)=x1=x (дистрибутивность & относительно );

(xy)&(x)=x y =x 0=x (дистрибутивность  относительно &).

2. Законы поглощения:

xxy=x(1y)=x1=x; x&(xy)=xxy=x.

Свойства элементарных функций и теорема о замене подформул на эквивалентные позволяют упрощать формулы.

x	0	1
0	1	0
1	0	1

23. Разложение булевой функции по переменным Обозначим x^=

Посмотрим, чему равно x^ при разных значениях x и .

Из таблицы следует: x^=1 тогда и только тогда, когда x=.

Теорема о разложении функции по переменным П усть f(x₁, ..., x_n) P₂. Тогда для любого m: 1 ≤ m ≤ n допустимо представление: f(x₁, ..., x_m, x_m+1, ..., x_n) = ,

где дизъюнкция берется по всем наборам из 0 и 1, которое называется разложением функции f по переменным x₁, ..., x_n. Прежде чем доказать утверждение, рассмотрим примеры. Пример 1. m = 1, запишем разложение по переменным х: f(x₁, ..., x_n) = = f(0, x₂ , …,x_nx₁f(1, x₂, ..., x_n). (1)

Пример 2. m=2, запишем разложение по переменным х и : f(x₁,x₂,…x_n) = = . Если f(x_, x_ = x_x_, то последняя формула дает x_x_= x_x_.

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор _,,_n) и покажем, что левая и правая части формулы (1) принимают на этом наборе одинаковые значения. Слева имеем f__n. Cправа : . Дизъюнкция берется по всевозможным наборам (__). Если в этих наборах хотя бы одно __i (1≤i≤m), то = 0 и , следовательно, ненулевой член будет только на наборе __) = __), тогда c3 f__n.

Следствие 1. Любую функцию f(x₁, ..., x_n) не равную тождественно нулю можно представить в виде: , причём единственным образом. Этот вид называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции f(x₁, ..., x_n) и записывается СДНФ.

Доказательство. Существование СДНФ для функции не равной тождественно нулю вытекает из предыдущей теоремы. Покажем, что эта СДНФ единственная. В самом деле, имеется n-местных функций, не равных нулю тождественно. Подсчитаем число различных СДНФ от n переменных. Путь означает число сочетаний из n элементов по k. Тогда число одночленных СДНФ равно . Число k-членных СДНФ равно . Число n-членных СДНФ равно . Число всех различных СДНФ

Итак, функций реализуются посредством СДНФ, т.е. каждой функции соответствует единственная СДНФ.

Замечание. – элементарная конъюнкция ранга n по числу входящих переменных, предполагается, что при i  j , х_i  х_j. СДНФ для f(x₁, ..., x_n) –дизъюнкция элементарных конъюнкций ранга n. Если функция представлена в виде дизъюнкций элементарных конъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной конъюнкции меньше n, то такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Cледствие 2. Любая функция алгебры логики может быть представлена в виде формулы через отрицание, & и  а) Если f ≡ 0, то f(x₁, ..., x_n) = &.б) Если f(x₁, ..., x_n)  0 тождественно, тогда ее можно представить в виде СДНФ, где используются только связки , &,  СДНФ дает алгоритм представления функции в виде формулы через &,  .

С ледствие 3. Мы умеем представлять функцию в виде . Нельзя ли представить ее в виде . Пусть функция f(x₁, ..., x_n) 1 тождественно. Тогда функция f* 0 тождественно, и ее можно представить в виде СДНФ:

. По принципу двойственности заменим & на и наоборот, получим (2) называется элементарной дизъюнкцией ранга n. Представление функции в виде (2) называется совершенной конъюнктивной нормальной формой или в краткой записи – СКНФ. СКНФ для f(x₁, ..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций ранга n. КНФ для f(x₁, ..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной дизъюнкции меньше n. Пример 4. Пусть f(x₁, x₂, x₃) = x₁ (x₂(x₃ ~ x₁)). Представим ее в виде СКНФ, для этого получим таблицу истинности.

x1	x2	x3	x3~x1	x 2 (x3~x1)	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 1 0 0 1 0 1	1 1 1 0 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому

f(x₁ x₂ x₃)=x₁x₂x₃ =x_^x₂^x₃¹= x₃.

26. Полином Жегалкина. f(x₁, ..., x_n) P₂, представим ее в виде формулы через конъюнкцию и сумму по модулю два, используя числа 0 и 1. Это можно сделать, так как {x₁&x₂, x₁x₂, 0, 1} полна в Р₂. В силу свойства x & (yz) = xy xz можно раскрыть все скобки, привести подобные члены, и получится полином от n переменных, состоящий из членов вида хх...х, соединенных знаком . Такой полином называется полиномом Жегалкина.

Общий вид полинома Жегалкина:где , s = 0, 1, ..., n, причем при s = 0 получаем свободный член а₀.

Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над {x₁&x₂,} и сделаем замену =x1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 2. (x₁(x₂x₃))(x₁ x₂) x₃ = (x₁ x₂ x₃)(x₁ x₂) x₃ = (x₁x₂ x₁x₃ x₁x₂ x₂ x₂x₃)x₃ = (x₁x₃ x₂)x₃ = x₁x₃x₂ x₃ = ((x₁x₃1)x₂1)x₃ = x₁x₂x₃x₂x₃x₃.

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x₁, x₂, x₃) = (01101001) = а₀ а₁х₁ а₂х₂ а₃х₃ b₁x₁x₂ b₂x₂x₃  b₃x₁x₃  cx₁x₂x₃. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а₀, отсюда а₀ = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а₀ а₃, т.к. а₀ = 0, отсюда а₃ = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а₂, f(0, 1, 1) = 0 = а₂ а₃ b₂ = b₂ = 0; а₁ = 1; 0 = а₁ а₃ b₃ = b₃ = 0; 0 = а₁  а₂ b₁ = b₁ = 0; 1 = 1 1 1 c; c = 0; f(x₁, x₂, x₃) = x₁ x₂ x₃.

3. Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответсвует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x₁x₃. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.

N	x1x2x3	f	Треугольник Паскаля
1 x3 x2 x2x3 x1 x1x3 x1x2 x1x2x3	000 001 010 011 100 101 110 111	1 0 0 1 1 1 1 0	1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

Тогда

Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

, s = 0, 1, ..., n. Доказательство. Любая функция из Р₂ может быть представлена формулой над {x₁ & x₂, x₁x₂, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f(x₁, ..., x_n) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2ⁿ. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x₁, ..., x_n }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

Определение. Функция f(x₁, ..., x_n), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а₀ а₁х₁ а₂х₂ ... а_nх_n, называется линейной.

Лемма о нелинейной функции. Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.

Доказательство. Пусть f(x₁, ..., x_n) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведение x_ix_j. Будем считать для простоты, что x₁x₂ в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функцию f представим в виде

Функция h₀ не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведением x₁x₂. Тогда существует набор (₃, …, _n) из 0 и 1, для которого h₀(₃, …, _n) = 1. Пусть h₁(₃, …, _n) = a, h₂(₃, …, _n) = b, h₃(₃, …, _n) = c. Тогда

Построим функцию:

где d = ab  c. Если d = 0, то h(x₁, x₂) = x₁x₂. Если d = 1, то h(x₁, x₂) = x₁x₂  1 и тогда Лемма доказана.

Функция f(x₁, ..., x_n) сохраняет константу a  {0, 1}, если f(a, …, a) = a.

Пример 4. Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция xy сохраняет 1 и не сохраняет 0