Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.

Обозначение аргумента и функции	Значения аргумента и функции		Наименование функции
x	0	1
	0	0	Логический ноль
	0	1	Повторение x
	1	0	Инверсия x
	1	1	Логическая единица

2. Возможные функции от двух переменных.

Обозначение аргументов и функций	Значение аргументов и функций				Обозначение функций	Наименование	Вырожденность	Представление функции в булевом базисе
	0	0	0	0	“0”	Логический ноль	+	-
	0	0	0	1	x1&x2	Конъюнкция	-	x1 x2
	0	0	1	0	x1Dx2	Запрет x1 по x2	-	x1 2
	0	0	1	1	x1	Повторение x1	+	-
	0	1	0	0	x2Dx1	Запрет x2 по x1	-	x21
	0	1	0	1	x2	Повторение x2	+	-
	0	1	1	0	x1Åx2	Сумма по модулю 2 неравнозначная (исключительное или) XOR	-	1 x2 Ú x12
	0	1	1	1	x1Úx2	Дизъюнкция	-	x1 Ú x2
	1	0	0	0	x1¯x2	Функция Вебба	-	x1Úx2
	1	0	0	1	x1ºx2	Равнозначность	-	12 Ú x1 x2
	1	0	1	0	2	Отрицание x2	+	-
	1	0	1	1	x2®x1	Импликация от x2 к x1	-	2 Ú x1
	1	1	0	0	1	Отрицание x1	+	-
	1	1	0	1	x1®x2	Импликация x1 к x2	-	1 Ú x2
	1	1	1	0	x1 | x2	Штрих Шеффера	-
	1	1	1	1	“1”	Логическая единица	+	-

Определение: Булева функция от n аргументов fⁿ(x) называется вырожденной по аргументу x_i, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство:

f(x₁, x₂, ... , x_i-1, 0, x_i+1, ... , x_n) = f(x₁, x₂, x_i-1, 1, x_i+1, ... , x_n).

Функция запрета x₁Dx₂ принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x₂) единице и повторяет значение аргумента x₁ при равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).

Пример: Имеют место два простых высказывания.

А. На небе тучи.

В. Идет дождь. В®А

А	В	В®А
f	f	t
f	t	f
t	f	t
t	t	t

Из истины не может следовать ложь!

Некоторые функции от трех переменных.

Значение аргументов			Значение функций
			Сумма по модулю 2	Исключающее ИЛИ	Функция мажоритарности
x1	x2	x3	x1Åx2Åx3	XOR (x1,x2,x3)	x1#x2#x3
0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0
0	1	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	0	1

Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.

_n

Общее разнообразие функций от n аргументов равно 2²

В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически: , где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.

Пример:

f³(x)=x₁Åx₂Åx₃=

Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.