1. Элементы теории графов

Основные определения

Граф (graph) - пара G=(V,E), где V - множество объектов произвольной природы, называемых вершинами (vertices, nodes), а E - семейство пар e_i=(v_i1, v_i2), v_ijV, называемых ребрами (edges). В общем случае множество V и/или семейство E могут содержать бесконечное число элементов, но мы будем рассматривать только конечные графы, т.е. графы, у которых как V, так и E конечны.

В приведенном определении графа E не случайно названо семейством пар, а не множеством. Дело в том, что элементы E могут быть неуникальны, т.е. возможны кратные ребра. Существует другое, более корректное определение: граф определяется как тройка G=(V,E,), где V - множество вершин, E - множество ребер, а =(v,u,e) - трехместный предикат (булевская функция от трех переменных), возвращающая True тогда и только тогда, когда ребро e инцидентно вершинам v и u. Однако такие "строгости" в нашем изложении являются чрезмерными.

Если порядок элементов, входящих в e_i, имеет значение, то граф называется ориентированным (directed graph), сокращенно - орграф (digraph), иначе - неориентированным (undirected graph). Ребра орграфа называются дугами (arcs). В дальнейшем будем считать, что термин "граф", применяемый без уточнений "ориентированный" или "неориентированный", обозначает неориентированный граф.

Пример: G=(V,E); V={1,2,3,4}; E=<(1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,4)>

  G Если e=(v,u), то вершины v и u называются концами ребра. При этом говорят, что ребро e является смежным (инцидентным) каждой из вершин v и u. Вершины v и u также называются смежными (инцидентными). В общем случае, допускаются ребра вида e=(v,v); такие ребра называются петлями.

Степень вершины графа - это число ребер, инцидентных данной вершине, причем петли учитываются дважды. Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер: Sum(deg(v_i), i=1..|V|)=2|E|.

Граф, не содержащий петель и кратных ребер, называется обыкновенным, или простым графом (simple graph). Во многих публикациях используется другая терминология: под графом понимается простой граф, граф с кратными ребрами называют мультиграфом, с петлями - псевдографом.

Некоторые классы графов получили особые наименования. Граф с любым количеством вершин, не содержащий ребер, называется пустым. Обыкновенный граф с n вершинами, любая пара вершин которого соединена ребром, называется полным и обозначается K_n (очевидно, что в полном графе n(n-1)/2 ребер).

Граф, вершины которого можно разбить на непересекающиеся подмножества V₁ и V₂ так, что никакие две вершины, принадлежащие одному и тому же подмножеству, не смежны, называется двудольным (или бихроматическим, или графом Кенига) и обозначается B_mn (m=|V₁|, n=|V₂|, m+n=|V|). Полный двудольный граф - такой двудольный граф, что каждая вершина множества V₁ связана со всеми вершинами множества V₂, и наоборот; обозначение - K_mn. Замечание: полный двудольный граф B_mn не является полным (за исключением B₁₁=K₂).

B₃₃

Подграфом, или частью графа G=(V,E) называется такой граф G'=(V',E'), что V'V и две несмежные вершины в G не смежны в G'. Полным подграфом называется подграф, любая пара вершин которого смежна.

Остовным подграфом (суграфом) графа G называется любой его подграф, содержащий то же множество вершин, что и G.

Изоморфизм, гомеоморфизм

Графы G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) называются изоморфными (обозначение: G₁~G₂), если между графами существует взаимно-однозначное отображение : G₁G₂ (V₁V₂, E₁E₂), которое сохраняет соответствие между ребрами (дугами) графов, т.е. для любого ребра (дуги) e=(v,u) верно: e'=(v,u)=((v),(u)) (eE₁, e'E₂). Отображение  называется изоморфным отображением.

Иными словами, изоморфные графы различаются только обозначением вершин.

Изоморфные графы. Одно из изоморфных отображений: (0,0), (1,3), (2,5), (3,6), (4,7), (5,2), (6,1), (7,4), (8,9), (9,8).

Характеристики графов, инвариантные относительно изоморфизмов графов (т.е. принимающие одинаковые значения на изоморфных графах), называются инвариантами графов.

Подразделением ребра (v₁,v₂) графа называется операция добавления в граф вершины v' и замены этого ребра на два смежных ребра (v₁,v') и (v',v₂): V'=V+{v'}, E'=E-{(v₁,v₂)}+{(v₁,v')}+{(v',v₂).

Граф G' называется подразделением графа G, если он может быть получен из G путем конечного числа подразделений ребер.

Два графа называются гомеоморфными, если для них существуют изоморфные подразделения.