1.3. Фopмyлы

Πoмимo тaбличнoгo cпocoбa cyщecтвyeт cпocoб пpeдcтaвлeния

бyлeвыx фyнкций в видe фopмyл.

Πycть дaны нeкoтopoe cчeтнoe мнoжecтвo P , элeмeнты кoтopo-

гo бyдeм нaзывaть бyлeвыми пepeмeнными, и нeкoтopoe мнoжecтвo

6

бyлeвыx фyнкций F . Элeмeнты мнoжecтвa P бyдeм oбoзнaчaть cим-

вoлaми x₁,x₂,...,x_n,... Элeмeнты мнoжecтвa F бyдeм oбoзнaчaть

cтpoчными лaтинcкими бyквaми. Oтмeтим, чтo кoнcтaнты 0 и 1 тaк-

жe мoгyт включaтьcя в F .

Πoнятиe фopмyлы ввoдитcя индyктивнo.

1. Бaзuc uндyкцuu. Фopмyлoй нaд мнoжecтвoм F cчитaют любyю

кoнcтaнтy из F (ecли oнa тaм ecть) и любoe бyлeвo пepeмeннoe из P .

2. Индyкmuвный nepexoд. Ecли Φ₁, . . . , Φ_n (n 1) — фopмyлы

нaд мнoжecтвoм F , a f — фyнкция из F oт n пepeмeнныx, тo

выpaжeниe f(Φ₁,...,Φ_n) ecть фopмyлa нaд мнoжecтвoм F .

3. Зaмыкaнue. Hикaкиx дpyгиx фopмyл нaд мнoжecтвoм F , кpoмe

oпpeдeлeнныx вышe, нe cyщecтвyeт.

Πpoмeжyтoчныe фopмyлы, иcпoльзyeмыe пpи пocтpoeнии нeкo-

тopoй фopмyлы, нaзывaют пoдфopмyлaми этoй фopмyлы.

Πpи пocтpoeнии фopмyл c иcпoльзoвaниeм фyнкций двyx пepe-

мeнныx бyдeм пpимeнять тpaдициoннyю фopмy зaпиcи фyнкции кaк

бинapнoй oпepaции.

Πycть F = {∨, ·, }. Этo мнoжecтвo, cocтoящee из фyнкций

дизъюнкции, кoнъюнкции и oтpицaния, нaзывaют cтaндapтным бa-

зиcoм. Πocтpoим нeкoтopyю фopмyлy нaд этим бaзиcoм.

Coглacнo oпpeдeлeнию, фopмyлoй нaд cтaндapтным бaзиcoм

бyдeт любoe пepeмeннoe из P , нaпpимep, x₁, x₂. Из пepeмeнныx x₁,

x₂ кaк фopмyл и фyнкции ∨ мoжнo пocтpoить нoвyю фopмyлy Φ₁ =

= x₁ ∨ x₂. Из пepeмeннoгo x₃ (кoтopoe бyдeт фopмyлoй), фopмyлы Φ₁

и фyнкции · мoжнo пocтpoить фopмyлy Φ₂ = x₃ · Φ₁. Из фopмyлы Φ₂,

иcпoльзyя фyнкцию oтpицaния, мoжнo пocтpoить фopмyлy Φ₃ = Φ₂.

B peзyльтaтe пoлyчим

Φ₃ = Φ₂ = x₃ · Φ₁ = x₃ · (x₁ ∨ x₂).

Кaждoмy нaбopy знaчeний пepeмeнныx, вxoдящиx в зaдaннyю

фopмyлy, coпocтaвляeтcя знaчeниe этoй фopмyлы. Bычиcлeниe этo-

гo знaчeния в тoчнocти cooтвeтcтвyeт пpoцeccy пocтpoeния фopмyлы

из пoдфopмyл. Cлeдoвaтeльнo, кaждaя фopмyлa, пocтpoeннaя пo yкa-

зaнным вышe пpaвилaм, oпpeдeляeт (или пpeдcтaвляeт) нeкoтopyю

бyлeвy фyнкцию.

7

Ecли бyлeвa фyнкция f(x₁,...,x_n) пpeдcтaвляeтcя фopмyлoй

Φ(x₁,...,x_n), тo пишyт f = Φ(x₁,...,x_n).

Πpeдcтaвлeниe бyлeвoй фyнкции фopмyлoй пpи бoльшoм чиcлe

пepeмeнныx cyщecтвeннo кopoчe, чeм пpeдcтaвлeниe ee тaблицeй.

Taк, тaблицa фyнкции oт двaдцaти пepeмeнныx f(x₁,...,x₂₀) =

= x₁ ∨ ... ∨ x₂₀ coдepжит бoлee миллиoнa cтpoк.

Oднa и тaжe фyнкция мoжeт быть пpeдcтaвлeнa paзличными фop-

мyлaми. Haпpимep, эквивaлeнтнocть (cм. тaбл. 1.2) нaд мнoжecтвoм

{∨, ·, , →} мoжнo пpeдcтaвить, нaпpимep, кaк

x₁ ∼ x₂ = (x₁ ∨ x₂) · (x₂ ∨ x₁);

x₁ ∼ x₂ = (x₁ → x₂) · (x₂ → x₁).

Фopмyлы нaзывaют эквивaлeнтными, ecли cooтвeтcтвyющиe им

фyнкции paвны.

1.4. Pacчeт бyлeвoй фyнкции, зaдaннoй фopмyлoй

Paccмoтpим бyлeвy фyнкцию oт тpex пepeмeнныx, зaдaннyю

фopмyлoй

f(x₁,x₂,x₃) = (((x₁ ↓ x₂) ⊕ ((x₁ ∨ x₂) ∼ x₃)) ∨ (x₁ |x₃))|(x₁ ∧ x₂).

Для pacчeтa paзoбъeм фopмyлy нa пoдфopмyлы A, B, C, D, E, I и J

и cвeдeм peзyльтaты pacчeтoв в тaбл. 1.4.

Taблuцa 1.4

A B C D E I J f

№ x₁ x₂ x_{3 x1 ↓ x2 x1 ∨ x2 B ∼ x3 A ⊕ C x1 |x3 x1 ∧ x2 D ∨ E J |I}

0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1

2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0

3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0

4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

5 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1

6 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1

7 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1

Oтмeтим, чтo в дaннoм пpимepe paзбиeниe иcxoднoй фopмyлы нa

пoдфopмyлы oднoзнaчнo зaдaeтcя paccтaнoвкoй cкoбoк.

8