Математическая постановка экстремальной задачи

1. Объясните термин «Линейное программирование».

Наука о методах исследования и отыскания макс. и мин. лин. функций, на неизвестные которых наложены лин. ограничения, т. о. ЗЛП относится к задачам на условный экстремум функции.

2. Перечислите основные предпосылки теории ЛП.

Середина XVIII в – Ф. Кенэ смоделировал в форме таблиц процесс движения финансов между землевладельцами, крестьянами и ремесленниками. 1939 г. – Канторович сформулировал ряд задач ЛП и предложил методы их решения. 1947 г. – Данциг разработал симплекс метод решения ЗЛП.

3. Перечислите этапы принятия решения.

1. Сбор, изучение информации о проблемной ситуации, вербальное описание проблемы.

2. Построение мат модели.

3. Решение экономико-математической модели на компьютере.

4. Анализ полученных результатов: если результаты неудовлетворительны, то переход к п. 2, иначе – принимается решение.

4. Назовите основные составляющие экономико-математической модели ЛП.

• Целевая функция – линейная функция, которая максимизируется или минимизируется: ;

• Система структурных (непрямых) ограничений: равенств, неравенств: ;

• Прямые ограничения: .

5. Напишите ЭММ задачи о смесях

Здесь: - количество j-го продукта; - стоимость j-го продукта; - количество питательного вещества i, содержащегося в j-ом продукте; - минимально необходимое содержание i-го питательного вещества в смеси; - калорийность j-го продукта; - минимальная и максимальная калорийности смеси.

6. Какая модель ЛП называется стандартной, запишите эту модель в векторной форме.

7. Запишите стандартную модель ЛП в алгебраической (подробной) форме.

8. Каково соотношение между числом ограничений и неизвестных в стандартной модели ЛП.

m и n не связаны

9. Дайте определение оптимального плана задачи ЛП.

Вектор называется оптимальным планом задачи ЛП, если для любого вектора Х из допустимого множества выполняется неравенство .

10. Может ли задача ЛП иметь бесконечное число оптимальных планов? Дайте геометрическую интерпретацию ответа.

Да: С(А)=С(В)=С(Х*), Х*[A,B] + рисунок!!!

11. Может ли задача ЛП иметь ровно 2 оптимальных плана?

Нет

12. Перечислите случаи, когда задача ЛП может не иметь решения.

1) Д=, 2) С(х) неограниченна на мн-ве Д

13. Какая модель ЛП называется канонической. Запишите ее в векторной и алгебраической (подробной) форме.

Векторная:

Алгебраическая:

14. Дайте определение допустимого множества стандартной задачи и его геометрическую интерпретацию.

Множество векторов называется множеством допустимых планов стандартной задачи или допустимым множетсвом + рис-к!!!

15. Каково соотношение между числом неизвестных (n) и ограничений (m) в канонической модели ЛП, аргументируйте ответ.

m<n. Если m>n – с-ма ур-ний Ax=b переопределена и не имеет смысла, m=n – с-ма ур-ний имеет единств-е реш-е, след-но нет смысла искать max C(x)

16. Для чего в линейном программировании используются дополнительные переменные.

Для преобразования стандартной ЗЛП в каноническую.

17. Дайте содержательную интерпретацию дополнительных переменных.

- неиспользованное количество i-го ресурса при реализации производственного плана.

18. Какова роль градиента функции в графическом решении задачи ЛП.

Указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

19. Может ли иметь решение задача ЛП, если ее допустимое множество неограниченно, дайте графическую интерпретацию ответа.

Нет.

С(х)>>M, т.е. С(х) неограниченна на Д + рис-к!!!

20. Приведенная форма системы линейных уравнений и ее роль в решении задачи ЛП.

Общая форма записи приведенной формы ур-ний:

 – множество свободных индексов

 – множество базисных индексов.

Из приведённой формы легко нах-ся решение системы уравнений: если , то одним из решений системы будет вектор

21. Почему в ЗЛП знаки ограничений нестрогие («≥» или «»)

Формально ограничения накладываются на количество ресурсов, имеющихся в запасе. Эти ресурсы могут быть использованы полностью, поэтому ограничения нестрогие.

22. Определение носителя допустимого плана.

Носителем плана X называется множество индексов .

23. Как определяется носитель псевдоплана.

Носителем псевдоплана X называется множество индексов .

24. Что общего между планом и псевдопланом канонической модели ЛП.

Компоненты плана удовлетворяют ограничениям канонической задачи Ax=b.

25. Чем отличаются базисный план и псевдоплан.

Компоненты базисного плана x_j>=0. Компоненты псевдоплана м.б. любые, в том числе и отрицательные.

26. Смысл элементов технологической матрицы в многопродуктовой модели.

a_ij - кол-во i-го ресурса для производства j-го продукта, .

27. Смысл элементов технологической матрицы в однопродуктовой модели производственного планирования.

a_ij - кол-во i-го ресурса для производства единицы продукта по технологии j,

28. Определение базисного плана.

Пусть - допустимый план ЗЛП и  - его носитель. Если векторы - линейно независимы, то план X – базисный допустимый план.

29. Напишите формулу для вычисления двойственных оценок, объясните смысл входящих в эту формулу величин.

- коэффициенты ц.ф. при базисных переменных,

- элементы технологической матрицы, разложенной по базису,

- коэффициенты целевой функции

30. Сформулируйте признак оптимальности базисного плана.

Пусть вектор - БДП ЗЛП. Если числа , то X⁰ – оптимальный план.

31. Сколько положительных компонент может быть в базисном плане.

Положительных компонент в базисном плане м. б. < m (число уравнений).

32. Почему не могут равняться нулю все двойственные оценки, соответствующие дополнительным переменным оптимального плана.

Если все двойственные оценки Δj=0, то все ресурсы избыточны, а этого не может быть, т.к. в этом случае фирма ничего не производит.

33. Является ли оптимальным планом точка, находящаяся внутри множества допустимых планов? Ответ обоснуйте

Нет. По теореме 1 о геометрической интерпретации БДП для того, чтобы была БДП необходимо и достаточно, чтобы она была вершиной множества допустимых планов D. Если X не является БДП, то он не может стать и оптимальным планом.

34. Что такое мощность носителя плана?

Мощность носителя плана X или - число положительных компонент плана X.