Метод Неймана (разыгрывания случайной величины)
Д. Нейман предложил способ получения заданного закона распределения , не требующий решения интегрального уравнения (1) и в то же время являющийся точным, т.е. не использующим никаких приближений.
Метод основан на имитационном моделировании закона распределения. Суть его сводится к следующему.
Пусть X распределена на интервале (a, b) и моделируемая плотность ограничена: f(x)M0. Выбираем два значения 1 и 2, равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайной величины и на плоскость (x, f(x)) наложим точку N с координатами: =a + 1 (b-a); =2 M0.
Если точка N лежит под кривой, то разыгранное полученное значение X считается равным . Если точка оказалась под кривой, то пару 1, 2 отбрасывают и выбирают новую пару 3 и 4.
Покажем, что указанный алгоритм приводит к закону f(x). Случайная точка N равномерно распределена в прямоугольнике с площадью (b-a)M0.
В
ероятность
того, что точка N
окажется ниже прямой f(x)
равна отношению:
Вероятность того, что точка окажется под кривой f() и окажется внутри интервала (a’, b’) выражается соотношением:
.
Следовательно, среди всех отобранных (перешедших в X) доля попавших в интервал (a’, b’) равна частному:
.
Если же вероятность того, что P(a’ X b’) находится через плотность f(x), то это значит, что X имеет плотность f(x).
Проверка гипотез по категориям типа событие – явление – поведение
Применение метода Монте – Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие методы либо не разработаны, либо их применение сопровождается большим числом оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным последствиям и неправильным выводам. В связи с этим необходимо наблюдать не только развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.
Существуют различные методы проверки статистических гипотез. Наибольшее распространение на практике нашли методы:
критерий согласия 2 (хи – квадрат);
критерий Крамера – фон – Мизеса;
критерий Колмогорова – Смирнова.
Критерий 2 предпочтителен, если объемы выборок N, в отношении которых проводится анализ, велики. Это мощное средство, если N 100. Однако при анализе экономических ситуаций иногда бывает нетрудно или невозможно найти 100 одинаковых процессов, развивающихся с различными исходными данными. Сложность не только в том, что не бывает одинаковых объектов экономики. Даже если такие объекты имеются, то к исходным данным относятся не только вероятностные данные и особенности структуры объекта, но и сценарий развития процессов в этом объекте и в тех объектах внешней среды, с которыми он взаимодействует: процессы рынка, указы правительства, принятие новых законов, требований налоговых органов, платежи в бюджеты различных уровней и т.д. При относительно малых объемах выборок этот критерий вообще не применим.
Критерий Крамера – фон – Мизеса дает правильные результаты при малых объемах выборок (N 10). Однако, следует отметить, что при N<10 каким бы методом не пользоваться, вопрос о доверительной вероятности при проверке статистической гипотезы решается плохо (эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов).
Метод Монте – Карло используют для того, чтобы недостающие данные собрать с помощью специального вычислительного статистического инструментария и компьютера. Поэтому будем полагать, что реальные объекты выборок, которые можно получить, находятся в пределах 10 N 100.
Для указанных пределов хорошие результаты дает критерий Колмогорова – Смирнова. Он применяется в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известно среднее значение и дисперсия проверяемой совокупности.
Проверка статистических гипотез о соответствии «событий явлению» и «явления поведению» дает математический инструмент для оценки «рискованного поведения» исследуемого процесса.