7. Нетривиальное решение задачи забывающего моделирования

   1. Вводные замечания

Отметим, что тривиальное решение для забывающего моделирования RAM-машины заключается в полном сканировании фактической памятиRAM_k-машины для каждой операции доступа к виртуальной памяти (которая должна быть выполнена для оригинальнойRAM-машины). Далее описывается первое нетривиальное решение [GO,O] задачи забывающего моделированияRAM_k-машины посредством вероятностнойRAM'_k'. Это решение еще называется решением задачи «Квадратного корня» [GO].

Пусть заранее известен объем памяти, обозначаемый m, требуемый для соответствующей программы. Ниже мы показываем, как моделировать такуюRAM-машину посредством забывающейRAM-машиной с объемом памятиm+2таким образом, чтоtшагов оригинальнойRAM-машины моделируются заO(t) шагов на забывающейRAM-машине.

Всякий раз, когда мы говорим о доступе к виртуальномпамяти, мы подразумеваем доступ к памяти, требуемый для оригинальнойRAM-машины, которая моделируется. Доступ к памяти при забывающем моделированииRAM-машины рассматривается как фактический доступ к памяти. Кроме того, без потери общности, будем понимать, что виртуальная операция доступа состоит из обработки содержимого единственной ячейки памяти (т.е.,выборка(i), сопровождаемая командамисохранить(i,^) для некоторогоi).

2. Общее описание алгоритма «Квадратного корня»

Интуитивно, чтобы полностью скрыть виртуальную модель доступа, мы должны скрыть следующее:

• к каким виртуальным ячейкам осуществляется доступ и в каком порядке?

• сколько раз к конкретной виртуальной ячейке осуществляется доступ (в случае, если к ней обращались)?

В первом случае достаточно каким-либо образом «перемешать» память так, чтобы противник не знал, какой фактический адрес памяти соответствует данному виртуальному адресу. Во втором случае, мы должны убедиться, что к любой («перемешанной») локальной памяти осуществляется доступ более одного раза. Высокоуровневые шаги моделирования следующие.

Алгоритм кк

1. Инициализация:Первыеm+слов при моделированииRAM-машины расположены так, чтобы содержатьmвиртуальных адресов (к которым оригинальнаяRAM-машина обращается в процессе выполнения) и«фиктивных» слов (см. рис.5.1). Оставшиесяслов распределены так, чтобы обслужить дополнительную («краткосрочную») память. Здесь и далее эта память обозначаетсязщт. (см. рис. 5.1).

2. Моделирование шагов RAM-машины:До тех пор пока моделированиеRAM-машины не остановится, выполнить. (Моделирование выполняется запериоды, каждый из которых состоит изшагов оригинальной/моделируемой машины). В каждом таком периоде выполняются следующие шаги.

2.1. Случайно переставить содержимое ячеек от 1 доm+. То есть необходимо равномерно выбрать перестановкунад целыми числами от 1 доm+и забывающим образом переместить содержимое виртуального словаiв фактическое слово_i. Необходимо подчеркнуть, что памятьзщт(т.е., ячейки от (m++1) до (m+2)) не участвует в этом случайном перемешивании. Таким образом, фактические адреса от 1 доm+называютсяперемешанной памятью.

2.2. Моделировать виртуальных операций доступа к памяти оригинальной RAM-машины.В процессе моделирования мы сохраняем значения виртуальных операций доступа, восстановленных и модифицированных в течение текущего периода в памятизщт. Так как размер памятизщтравняется числу возможных операций доступа в одном периоде, можно хранить все значения, восстановленные в течение текущего периода в памятизщт. Доступ к памяти оригинальнойRAM-машины, скажем доступ к виртуальному словуi, моделируется следующим образом:

• сканируется вся память зщти проверяется, находится ли содержимое виртуального словаiв одном из слов памятизщт. Подчеркнем, что здесь мы обращаемся к каждой ячейке памятизщтв предопределенном порядке независимо от того, находится ли там виртуальное слово, которое нам надо;

• в случае, если i-тое виртуальное слово не найдено в памятизщт, мы восстанавливаем его из фактического слова(i), которое является текущей ячейкойi-того виртуального слова в течение этого периода;

• в противном случае (т.е., в случае, если i-тое виртуальное слово найдено в памятизщт), мы получаем доступ к следующему «фиктивному слову» в перемешанной памяти (например, мы обращаемся к фактическому адресу(m+j), гдеj- число шагов, моделируемых в текущем периоде);

• в любом случае модифицируемое значение для i-той виртуальной ячейки записано (забывающим образом) в памятьзщтпосредством сканирования заново всех слов памятизщт.

3. Модифицировать перемешанную память.В конце периода, используются значения, сохраненные в памятизщтдля модификации забывающим образом содержимого перемешанной памяти.

Перед тем как приступить к деталям реализации вышеупомянутых шагов, сделаем несколько замечаний относительно того, почему они составляют забывающее моделирование. Далее покажем, как осуществить доступ к памяти на шаге 1 фиксированным образом а, следовательно, независимо от входа и виртуальной модели доступа оригинальной RAM-машины. Различают два типа операций доступ к памяти, выполненных на шаге 2: полное сканирование памятизщт(т.е., осуществление доступа к каждому из слов дважды на каждую виртуальную  операцию   доступа)    и

осуществление доступа к ячейкам перемешанной памяти во время каждого периода. Для каждых возможныхвиртуальных операций доступа, последниефактических операций доступа равномерно распределены среди всехподмножеств {1,...,m+}, где распределение вероятностей индуцировано выбором перестановки. Таким образом, фактический доступ, выполняемый на шаге 2, не открывает никакой информации относительно виртуальных операций доступа, выполняемых в этом шаге. Легко увидеть, что шаг 3 не создает никаких новых трудностей, поскольку он может быть сделан при выполнении операций фактического доступа на шагах 1 и 2 в обратном порядке.