4. Преобразования, защищающие программное обеспечение

Определим компиляторы, которые по данной программе П, производят пару (f,П_f), гдеf- случайно выбранная функция и П_f– завуалированная программа, которая соответствуетПиf. Здесь имеется в виду оракульнаяRAM-машина, которая на входе (П_f,х) и при доступе к оракулуf, моделирует выполнениеПна данныххтак, чтобы это моделирование «защищало бы» оригинальную программуП.

Далее даются определения компиляторовкак набора преобразований программ в программно-оракульные пары, которые при выполнении оракульныхRAM-программ являются функционально эквивалентными выполнениям оригинальных программ.

Определение 5.5.Компилятор, обозначаемый черезC, является вероятностным отображением, которое по входу целочисленного параметраkи программыПдляRAM_kвозвращает пару (f,П_f) так, чтобы:

• f:{0,1}^O(k){0,1} – случайно выбранная функция;

• П_f=O(П);

• для k'=k+O(logk) существует оракульнаяRAM_k' -машина такая, что для каждой П, каждойfи каждогоx{0,1} инициируетсяRAM_k'на входе (П_f,x) и при доступе к оракулуfобеспечивает выход П(x).

Оракульная RAM_k' -машина отличается отRAM_k-машины в том, чтоRAM_k'имеет доступ к оракулу, в то время какRAM_kнет. Понятно, чтоRAM_k'имеет большую память, а именноRAM_k' -машина состоит из 2^k'=poly(k)2^kслов, в то время как памятьRAM_kсостоит из 2^kслов.

Компиляторы, как определено выше, преобразовывают детерминированные программы в завуалированные программы, которые выполняются на вероятностных RAM-машинах. Теперь непосредственно обратимся к определениям компилятора, защищающего программное обеспечение.

Оракул спецификациидля программыП– это оракул, который на запросxвозвращает тройку (П(x),t_П(x),s_П(x)).

Отметим, что t_П(x) иs_П(x) обозначает время выполнения и пространственные размеры программыПна данныхx. Далее даются основное определение для задачи защиты программ. В этом определенииADVбудет рассматриваться и как вмешивающийся, и как невмешивающийся противник.

Определение 5.6.Для данного компилятораCи противникаADV, компиляторCзащищает программное обеспечение от противника ADV, если существует вероятностная оракульная машинаМ, удовлетворяющая следующим условиям:

• (М функционирует примерно за то же самое время, как и ADV)Существует полиномp(^) такой, что для каждой строкивремя выполненияМна входе (k',) (с учетом доступа к случайному оракулу) было ограниченоp(k')T, гдеTобозначает время выполненияADVпри экспериментировании сRAM_k'на входе;

• (М с доступом к оракулу спецификации обеспечивает выход почти идентичный выходу ADV после экспериментирования с результатами работы компилятора)Для каждой программыПстатистическое расстояние между следующими двумя распределениями вероятностей ограничено 2^-k'.

1. Распределение выхода машины ADVпри экспериментировании сна входеП_f, где (f,Пf)C(П). Отметим, чтообозначает интерактивную пару (CPU_k',MEM_k'), гдеCPU_k'имеет доступ к оракулуf. Распределение берется над пространством вероятностей, состоящим из всех возможных выборов функцииfи всех возможных результатов выработки случайного бита («подбрасываний монеты») машиныADVс равномерным распределением вероятностей.

2. Распределение выхода оракульной машины Мна входе (k',O(П)) и при доступе к оракулу спецификации дляП. Распределение берется над пространством вероятностей состоящим из всех возможных результатов подбрасываний монеты машиныМс равномерным распределением вероятностей.

Компилятор Cобеспечиваетслабуюзащиту программ, еслиCзащищает программы против любого невмешивающего противника. КомпиляторCобеспечиваетдоказуемую защиту программ от вмешательства, еслиCзащищает программы против любого вмешивающего противника.

Далее приведем определения затрат на защиту программ. Необходимо напомнить, что для простоты, мы ограничиваем время выполнения программы Пследующим условием:t_П(x)>П+xдля всехx.

Определение 5.7.ПустьC- компилятор иg:NN –некоторая целочисленная функция.Затраты компилятораCна большинстве аргументовg, если для каждойП, каждогоx{0,1}^*и каждой случайно выбраннойfтребуемое время выполненияRAM_k'на входе (П_f,x) и при доступе к оракулуfограничены сверхуg(T)T, гдеT=t_П(x).