5. Определения забывающей ram-машины и забывающего моделирования

   1. Модели доступа

Необходимо начать с определения модели доступа как последовательности ячеек памяти, к которым ЦП обращается в процессе вычислений. Это определение распространяется также на оракульный ЦП.

Определение 5.7.Модель доступа, обозначаемая какА^k(y),детерминированной RAM_k-машинына входеy– это последовательность (a₁,...,a_i,...) такая, что для каждогоi,i-тое сообщение, посланное машинойCPU_kпри ее взаимодействии с машинойMEM_k(y), имеет форму (^,a_i,^).

При рассмотрении вероятностных RAM-машин, мы определяем случайную величину, которая для каждой возможной функцииfпринимает модель доступа, соответствующая вычислениям, в которыхRAM-машина имеет доступ к этой функции. В связи с этим дается следующее определение.

Определение 5.8.Модель доступа, обозначаемая как,вероятностной RAM_k-машинына входеy– это случайная величина, которая принимает значение модели доступа машиныRAM_kна некотором входеyи при доступе к однородно выбранной функцииf.

Теперь можно перейти к определению забывающей RAM-машины. Мы определяем забывающуюRAM-машину как вероятностнуюRAM-машину, для которой распределение вероятностей последовательности адресов памяти, к которым осуществляется доступ в процессе выполнения программы, зависит только от времени выполнения и не зависит от конкретного частного входа.

Определение 5.9.Для каждогоkNопределимзабывающую RAM_k-машинукаквероятностную RAM_k-машину, удовлетворяющую следующему условию. Для каждых двух строкy₁иy₂, еслииидентично распределены, тогда такжеидентично распределеныи.

Интуитивно, последовательность операций доступа к памяти забывающей RAM_k-машины не открывает никакой информации относительно входа за исключением значения времени выполнения на этом входе.

Определения RAM-машины и забывающейRAM-машины необходимо для того, чтобы дать точное определениезабывающего моделированиянезависимойRAM-машины посредством забывающейRAM-машины. Определение моделирования в данном случае минимально необходимое, - требуется только, чтобы обе машины вычисляли одну и ту же функцию. Кроме того, необходимо потребовать, чтобы входы, имеющие идентичное время выполнения на оригинальнойRAM-машине, сохраняли бы идентичное время выполнения на забывающейRAM-машине. Для простоты, ниже представляется только определение для забывающего моделирования детерминированныхRAM-машин.

Определение 5.10.Для данных машин, - вероятностнойRAM'_k', иRAM_kвероятностная машинаRAM'_k'моделирует забывающим образомRAM_k, если выполняются следующие условия:

• вероятностная машина RAM'_k'моделируетRAM_kс вероятностью 1. Другими словами, для каждого входаyи каждого выбора оракульной функцииfвыход оракулаRAM'_k'на входеyи при доступе к оракулуfравняется выходуRAM_kна входеy;

• вероятностная машина RAM'_k'– является забывающей. Необходимо подчеркнуть, что здесь рассматривается модель доступаRAM'_k'на фиксированном входе и случайно выбранной оракульной функции.

Случайная величина, представляющая собой время выполнения вероятностной RAM'_k'на входеyполностью определена текущим временемRAM_kна входеy.

Следовательно, модель доступа при забывающем моделировании (которая описывается случайной величиной, определенной над выбором случайного оракула) имеет распределение, зависящее только от времени выполнения оригинальной машины. А именно, пусть обозначает модель доступа при забывающем моделированииRAM_kна входеy. Тогдаиидентично распределены, если время выполненияRAM_kна этих входах (т.е.,y₁иy₂) идентично.

Теперь мы обратимся к определению затрат при забывающем моделировании.

Определение 5.11.Для данных вероятностных машинRAM'_k'иRAM_kпредположим, что вероятностнаяRAM'_k'моделирует забывающим образом вычисленияRAM_kи путьg:NN- есть некоторая целочисленная функция. Тогда затраты на моделирование являются не большеg, если для каждогоyтребуемое время выполненияRAM'_k'на входеyограничено сверхуg(T)T, гдеTобозначает время выполненияRAM_kна входеy.