30) Способы вычисления двойного интеграла.

Общая идея вычисления двойного интеграла состоит в сведении двойного интеграла к повторному, однократному, т.е. вычислению двух опред. интегралов.

Введем понятия обл типа 1 (У правильная) и обл типа 2 (Х правильная)

1) Область G на XOY назыв областью типа 1 если любая прямая, парал. оси OY проходящ через внутр точку обл G пересек границу этой обл не более чем в 2х точках.

Ее записывают так (при вычислении X=const)

2) обл G назыв обл типа 2 если любая прямая парал оси OX и проходящ через внутр точку обл G пересек границу этой обл не более чем в 2х точках.

Ее записывают так

Если D-обл типа 1 и f(x,y) непрерыв в D то =

Если обл D - обл типа 2 и f(x,y) непрерыв в D то =

замеч. Если обл D не явл ни обл типа 1 ни обл типа 2 то сначала ее разбив на части так, чтобы каждая ее часть были либо обл типа 1 либо 2,а затем вычисляют

31) Замена переменной в двойном интеграле.

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой квадрируемой области скости OXY непрерывная функция f(x,y) тогда существует двойной интеграл (1)

функциональный определитель вида = = называется якобианом

Т. Пусть система функций (2) отображает взаимное однозначно область D` на D, причем функции и в области D` имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля якобиан. Тогда, если существует двойной интеграл (1) то справедлива формула = (3)

Формула (3) называется формулой замены переменных под знаком двойного интеграла

32) Двойной интеграл в полярных координат

Часто вычисление двойного интеграла упрощается заменой декартовых координат х и у полярными координатами ρ и ϕ по следующим формулам:

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Для того чтобы получить формулу преобразования двойного интеграла с помощью полярных координат, найдём якобиан функций х и у из :

Следовательно, согласно формуле замены переменных под знаком двойного интеграла , получаем формулу преобразования двойного интеграла с помощью полярных координат:

.

36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)

Пусть в пространстве OXY дана кусочно-гладкая кривая L=AB, на которой определена ф-ия P(x, y). Разобьём кривую L на n частичных дуг с помощью произвольно выбранных на ней точек

A=M₀(x₀ , y₀), M₁(x₁ , y₁),…, M_k(x_k , y_k) = B,

Располагающихся в направлении от А к В. Выберем на каждой частичной дуге М_k-1M_k произвольную точку N_k(ξ_k , η_k) и составим суммы σ₁= и σ₂= , где ∆x_k=x_k-x_k-1 , ∆y_k=y_k-y_k-1. (Суммы σ₁ и σ₂ называются интегральными суммами, сост для ф-ии P(x, y) вдоль кривой L=AB по координате х и у соответсвенно.) Пусть ∆l_k – длина дуги М_k-1M_k (k=1,2,…, n), а λ – наибольшая из ∆l_k (k=1,2,…, n). Число J называется пределом интегральной суммы σ₁ (σ₂ ) при λ→0, если для любого ε<0 найдётся δ<0 такое, что как только λ<0, то выполняется неравенство |J- σ₁|<ε (|J- σ₂|<ε) независимо ни от способа разбиения кривой L=AB на части, ни от выбора точек N_k(ξ_k , η_k) на частичных дугах М_k-1M_k (k=1,2,…, n). ИТАК, Если сущ-ет конечный предел J интегральной суммы σ₁ (σ₂ ) при λ→0, то он называется криволинейным интегралом от ф-ии P(x, y) вдоль кривой L=AB по координате х(у) и обозначается так: ( ). При этом функция P(x, y) называется интегрируемой вдоль кривой L=AB по координате х(у).