20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.

Опр1 Точка называется точкой (локального) максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , выполняется неравенство .

Опр2 Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , выполняется неравенство .

Т. (необходимое условие экстремума) Если функция в точке имеет частные производные первого порядка и , то для того чтобы точка была точкой экстремума данной функции, необходимо, чтобы и .

22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.

Пусть M₀(x₀,y₀) является критической точкой функции z=f(x,y).

Т. (Достаточные условия экстремума) Пусть функция z=f(x,y) в некоторой окрестности критической точки M₀(x₀,y₀) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и пусть . Тогда

1) если , то в точке M₀(x₀,y₀) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем при условии точка M₀ будет точкой минимума, а при точка M₀ будет точкой максимума;

2) если , то в точке M₀ нет экстремума;

3) если , вопрос об экстремуме остается открытым, т.е. необходимы дополнительные исследования с привлечением производных более высокого порядка.

Замеч. Исследуя функцию z=f(x,y) на экстремум с помощью теоремы, мы оставляем в стороне те критические точки, при которых хотя бы одна из частных производных первого порядка не существует. Поэтом при решении задач на экстремум функций, необходимо исследовать (не прибегая к теореме) рассматриваемую функцию и в критических точках указанного типа.

23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.

Пусть D – замкнут и огранич. обл. на R². И пусть в D опред. ф-ция z=f(x,y). Предположим, что f(x,y) непрерыв. в D. Тогда согласно 2-й Т.Вейерштрасса она достиг. наим. и наиб. значение, т.е. ( ; ): f( )= sup f(M); ( ; ): f( )= inf f(M);

Здесь возможны два случаю: 1) наиб. и наим. значение ф-ия достигает во внутр. точках обл. D. 2) Но т.к. обл. явл. замкнутой, то может оказ., что она достиг. наим/наиб. знач. в гранич. точках.

Ясно, что если ф-ия достиг. наиб/наим. знач. во внутр. точках обл. D, то эти точки обязательно будут критическими. Поэтому, для нахожд. наим/наиб. значения ф-ии f в замк. и огранич. обл. D можно использовать след. правило!!

1. Сначала находим все критические точки ф-ии f в обл D.

2. Исследуем ф-ию f в этих критических точках на экстемум и находим и в нутрии D.

3. Находим и на границе Г области D.

4. Выбираем самое наиб. из всех найденных знач. f. Это и будет в замкнутой обл. D.

5. Выбираем из всех найденных знач. f самое наим. Это и будет в замкнутой обл. D.

26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.

Опр. Говорят, что многоугольник Q вписан в фигуру D, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре D. Будем говорить, что Q описан вокруг D, если все точки этой фигуры и ее границы принадлежат данному многоугольнику.

Обозначим через {S_k}множество площадей вписанных в D многоугольников, а через {S_n} – множество площадей описанных вокруг D многоугольников. Ясно, что первое множество имеет точную верхнюю грань (обозначим ее через ), а второе – точную нижнюю ( ).

Опр. Плоская фигура D называется квадрируемой, если = . Число называется площадью фигуры D.

Опр. Кривую Г называют кривой площади нуль, если для любого ε>0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь меньшую ε.

Т. Для того, чтобы плоская фигура D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы ее граница Г была кривой площади нуль.

Пусть D – замкнутая ограниченная область, имеющая границу Г площади нуль. Допустим, что в области D определена некоторая функция Z=f(x,y), которая является ограниченной в этой области. Разобьем D при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число n частичных областей D₁,…, D_n (без общих внутренних точек). Заметим, что каждая D_i будет квадрируемой. Обозначим площадь D_i через Δσ_i. В каждой частичной области выберем произвольную точку P_i(ξ_i,ŋ_i) и составим сумму (1) которую будем называть интегральной суммой для функции f(x,y) в области D. Ясно, что меняя сеть разбиения области D и способ выбора точек P_i в частичных областях, можно составлять бесконечно много интегральных сумм вида (1), вообще говоря, различных между собой. Обозначим через 𝝀 наибольший из диаметров частичных областей D_i.

Опр. Число J называется пределом интегральных сумм (1) при ,если для любого ε>0 существует такое δ>0, что при 𝝀<δ выполняется неравенство , независимо ни от способа разбиения области D на D_i, ни от выбора точек P_i(ξ_i,ŋ_i) в этих областях. .

Опр. Функция f(x,y) называется интегрируемой в области D, если существует конкретный предел J интегральных сумм (1) этой функции при . При этом предел J называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается одним из символов: или . Таким образом . D называют областью интегрирования, f(x,y) – подынтегральной функцией, - элементом площади, - подынтегральным выражением. Зам. Для того, чтобы функция была интегрируемой, необходимо, чтобы она была ограниченной в данной области. Однако, ограниченность функции не является достаточным условием.

Пусть функция Z=f(x,y) является ограниченной в D, т.е. , где . Рассмотрим нижние и верхние интегральные суммы и , где , означают, соответственно, точную нижнюю и верхнюю границы значений функции f(x,y) в частичной области.

Т. Для того, чтобы ограниченная в области D функция f(x,y) была интегрируемой в этой области, необходимо и достаточно, чтобы .

Т. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она в этой области интегрируема.