40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.

П усть D – некоторая область на плоскости ХОУ. И пусть А и В две произвольные точки из области D. Предположим, что в D определены две функции P(x,y) и Q(x,y), непрерывные в этой области. Рассмотрим теперь кусочно-гладкую кривую , соединяющую точки А и В. И рассмотрим кусочно-гладкую кривую , тоже соединяющую эти точки. Возникает вопрос: будет ли  Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный . Однако, при выполнении определенных условий криволинейные интегралы по контуру и будут равны. 

Определение: Говорят, что (1) не зависит от путей интегрирования в области D, а зависит лишь от положения начальной точки А и конечной точки В, если значение этого интеграла одно и то же по любому пути L, где L кусочно-гладкая кривая, соединяющая А и В и L D. Возникает естественный вопрос, при каких условиях криволинейный интеграл (1) в некоторой области D не зависит от путей интегрирования. 

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (1) в некоторой области D не зависел от путей интегрирования, необходимо и достаточно чтобы он по любому кусочно-гладкому контуру Г, целиком лежащему в области D, был равен 0.

 Теорема 2. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой односвязной области D. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от путей интегрирования в области D необходимо и достаточно, чтобы (**)  

41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

Пусть функции F(x ,y) является дифференцируемой в области . Тогда она в каждой точке имеет полный дифференциал который выражается формулой (7) заметим что правая часть (7) представляет собой выражение вида (8)Возникает вопрос при каких условиях относительно функции P(x,y) и Q(x,y) выражение вида (8) является полным дифференциалом некоторой функции Z=f(x,y) т.е. некоторой области существует функция f(x,y) что df(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ?.

Теорема 15.3. Пусть в некоторой односвязной области D функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные и . Для того что бы в области D выражение (8) было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных , необходимо и достаточно что бы во всех точках этой области имело место равенство = . (9)

Замечание Из док-во 15.3 видно что для функции (21) Ее полный дифференциал dF(X,Y) равен значению подынтегрального выражения в точке B(X,Y) т.е. P(X,Y)dx+Q(X,Y)dy. Поэтому обычно функцию двух переменных F(x,y) полный дифференциал которой равен P(x,y)dx+Q(x,y)dy называют первообразной для выражения Pdx+Qdy. Здесь важно так же заметить что наряду с F(x,y) вида (21) первообразной для выражения Pdx+Qdy является всякая функция вида (22) Где С –произвольная постоянная. Остановимся теперь на вопросе о восстановлении функции двух переменных U(x,y) по ее заданному полному дифференциалу. Пусть функции P(x.y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными непрерывны в непрерывны в некоторой односвязной области D⊂R² и пусть во всех точках этой области имеет место равенство . Тогда согласно теореме 15.3 выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y) в области D т.е. dU(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Как видно из замечания 15.4 все такие функции U(x,y) можно получить по формуле (22). Кроме того из (22) следует что для того что бы найти функцию U(x,y) достаточно в области D зафиксировать некоторую точку и вычислить интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой АВ, лежащей в D и соединяющей точку А с любой другой точкой B(X,Y) из D. Поскольку значение этого интеграла не зависит от пути интегрирования (так как ) то вычисление этого интеграла можно значительно упростить если в качестве пути интегрирования взять ломаную линию звенья которой параллельны осям координат (рис 9) т.е. вдоль пути ANB или AMB тогда получим (23)