1. Сложение вращений тела вокруг двух осей

На рис. 54 изображено тело, которое со­вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не­подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на­звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна­чить  и  .

Рис.54

 

Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет  больший  размер,  то его точка, совпа­дающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и от­носительного вращения изображается  векто­рами   и  , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответст­вующим осям.

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором   (рис.54).

Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной:  . Но  относительное  движение точки (ис­пользуя  правило остановки), есть вращение с угловой скоро­стью     вокруг  оси   , определяется радиусом-вектором  . Поэтому,  .

Рис.11.1.

Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя  правило  остановки, тоже  есть вращение, но вокруг оси    с угловой скоростью   и будет определяться тем же радиусом-вектором  . Поэтому и переносная скорость  .

Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом  движении,  определяется  аналогично  ,  где   - абсолютная  угловая  скорость,  направленная по мгновенной оси вращения Р.

По  формуле  сложения  скоростей  получим:   или  .

Отсюда               

То есть мгновенная  угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору  , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и   (рис.54).

Частные случаи:

1. Оси вращения   и   параллельны, на­правления  вращений одинаковы (рис. 55).

Рис.55

 

Так как векторы   и   параллельны и направлены  в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей   и вектор ее направлен  в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит рас­стояние между осями на части обратно  пропорциональные   и  :

.  (Аналогично  равнодействующей параллельных сил).

В  этом частном слу­чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей   находится на оси Р.

2. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны (рис.56).

Рис.56

 

В  этом  случае   (при   ).  Мгновенная  ось  вращения   и  мгновенный  центр  скоростей  находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что   (опять по аналогии   определения равнодействующей  параллельных сил).

3. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны и угловые скорости равны.

Угловая скорость абсолютного движения   и, следовательно, тело  совершает  поступательное  движение.  Этот  случай  называется  парой вращений, по аналогии с парой сил.

2. Общий случай движения тела

Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе с произвольно  выбранным  полюсом  С  и вращения  вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С:

А  второе  движение – уравнениями  вращения  вокруг точки С  с помощью углов Эйлера:

Скорости  и  ускорения  точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются  такими же методами, как при сложном движении точки (см. раздел выше).