9. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

.

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

,

.

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.  Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица  видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем  характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
	0 - корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k

Здесь   -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть  - решения уравнений

,

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

.

Пример 2. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение имеет корни , то общим решением соответствующего однородного уравнения  является функция:

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения уравнений

                                                                                                                           (*)

                                                                                                                           (**)

соответственно.

Определим частное решение уравнения (*). Правая часть представляет собой произведение многочлена первой степени и . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем , следовательно, частное решение будем искать в виде:

,

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда , а значит

.

Правая часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение уравнения (**) ищем в виде ( ):

.

Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

 Откуда . Поэтому . Согласно принципу суперпозиции, частное решение первоначального уравнения имеет вид:

,

а его общее решение определяется функцией:

.

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных  в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:

откуда . Значит решение поставленной задачи Коши есть

.

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

.

Функции определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение .  Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть , решениями которого являются . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

.

Функции определяются из системы

Решая систему, находим

  .

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.