2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение

(3.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножая обе части уравнения на , получаем уравнение

(3.2)

В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены. Интегрируя, получаем:

+

Пример.3.1 . Найти частное решение уравнения,  удовлетворяющее начальным данным:  при  x=1,  y=1. 

Преобразуем уравнение ; . Умножая оби части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируем:

+ ; + ;

; .

По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем  x=1,  y=1):

1+1+0=c, c=2; - искомое частное решение.

Пример. 3.2

Заменяем  на : , переменные

разделились. Интегрируем: = , ,

- общее решение.

Практически решение  большинства типов дифференциальных уравнений сводится к решению  уравнений с разделяющимися переменными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.

Например, в уравнении

(3.5)

 

где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.

Так как , то , переменные разделились,

интегрируем                                              = .

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение   называется однородным, если   – однородная функция нулевой степени. Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме  является однородным, если   – однородные функции одной степени.  Замена   приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Пример  Решить уравнение  . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию  .  Данное уравнение однородное. Произведя замену  , получим  (здесь мы учли, что  ). Сокращаем на  . Учитывая, что  , получим  . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая  и учитывая  , получаем ответ  . Для данного начального условия  :  . Следовательно, искомое частное решение есть .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения вида   называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя. Метод Бернулли Решение уравнения   ищется в виде  . При этой замене получаем:  Функцию   выбирают из условия  . Полученную функцию   подставляют в уравнение   (учитываем ), решая которое находят функцию  .  Пример Решить уравнение  .  Полагая   и учитывая  , получим  . Преобразуем полученное уравнение:  . Функцию   выберем из условия u`+ 2xu = 0. Учитывая  , получаем  . Интегрируем это равенство:   ( см. примечание).  Подставляя полученный результат   в уравнение  , и учитывая, что при  , получим  . Сократим последнее равенство на   и учтем  . Учитывая  , ответ будет таким: .  Примечание При интегрировании равенства  , получается результат  , откуда следует, что   или  . Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций  , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять   и выбрать  , тогда  .

 Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции, n > 1.

Заменой z(x) =  y^1-n(x) уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):

Получили линейное относительно z(x) уравнение:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной .

Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения

называется такая функция , после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции и в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

Решение примера.

Проверим дифференциальное уравнение на то, что оно является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частную производную по от функции, которая стоит перед , найдем частную производную по от функции, которая стоит перед . Получаем, что

и

следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию , полный дифференциал которой был бы равен левой части исходного дифференциального уравнения, т.е. такую функцию , что

Интегрируем по первое из уравнений, считая постоянным, при этом константа интегрирования должно быть функцией :

Подставляя это выражение для функции во второе из уравнений, найдем неизвестную функцию ^

получаем, что

Следовательно, в качестве функции можно взять , и общее решение исходного дифференциального уравнение будет иметь вид: