18. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если
приведенное разложение сходится в
некотором интервале x,
т.е.
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
|
Пример 1 |
|
Найти
ряд Маклорена для функции Решение. Воспользуемся
тригонометрическим равенством Отсюда следует: |
Пример 2 |
|
Разложить
в ряд Тейлора функцию Решение. Вычислим производные: Видно,
что Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид |
Пример 3 |
|
Найти разложение в ряд Маклорена функции e kx, k − действительное число. Решение. Вычислим производные: Тогда в точке x = 0 получаем Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой |
Пример 4 |
|
Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x3 в точке x = 2. Решение. Обозначим и
далее Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид |
Пример 5 |
|
Найти
разложение в ряд Маклорена функции Решение. Пусть При x = 0, соответственно, получаем Следовательно, разложение в ряд записывается в виде Полученное выражение называется биномиальным рядом. |
Пример 6 |
|
Найти
разложение в ряд Маклорена функции Решение. Используя
формулу биномиального ряда, найденную
в предыдущем примере, и подставляя Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде |
,
то оно называется рядом
Тейлора,
представляющим разложение функции f (x) в
точке a.
Если a
= 0,
то такое разложение называется рядом
Маклорена:
.
.
Поскольку
ряд Маклорена для cos x имеет
вид 
,
то можно записать
в
точке x
= 1.
для
всех n
≥ 3.
Для x
= 1 получаем
значения:
.
Тогда
для
всех x
≥ 4.
В
точке x
= 2,
соответственно, получаем
.
,
где μ −
действительное число, и x
≠ −1.
Производные будут равны
.
,
получаем
19. Применения рядов Тейлора для приближенных вычислений интегралов и решений дифференциальных уравнений.
Некоторые приложения степенных рядов.
Приближенные вычисления.
Пример.
Найти значение 
с
точностью 0.001.
{
Так
как это знакочередующийся ряд, то его
остаток меньше первого отброшенного
члена (гл.1,§11). Следовательно,
(с
точностью 0.001).}
2. Интегрирование с помощью рядов.
Пример. 
3. Решение дифференциальных уравнений.
Примеры. 1. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения дифференциального
уравнения: 
{ Вычислим производные в т. х0=1:
}
2*.
Решить уравнение: 
{Будем
искать решение в виде степенного ряда: 
Тогда 
Подставляя
данные выражения в уравнение,
имеем: 
или 
В силу начальных условий: а0 = 0, а1 = 1. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,
получим: 
Отсюда
:
и 
}