Обобщённо гармонический ряд. Ряд Дирихле:
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд:
Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:
Для
чётных это значение явно выражается
через число пи, например,
, а уже для α=3 его значение аналитически
неизвестно.
Знакопеременный ряд:
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
Это известно как ряд Лейбница.
15. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда являетсязнакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что 1. an+1 < an для
всех n;
2. Тогда
знакочередующиеся ряды Абсолютная и условная сходимость Ряд |
Пример 1 |
|
Исследовать
на сходимость ряд Решение. Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку |
Пример 2 |
|
Исследовать
на сходимость ряд Решение. Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится. |
Пример 3 |
Определить,
является ли ряд Решение. Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно. |
Пример 4 |
Определить,
является ли ряд Решение. Сначала
воспользуемся признаком Лейбница и
найдем предел Таким образом, исходный ряд расходится. |
Пример 5 |
|
Исследовать на сходимость ряд Решение. Общий
член данного ряда равен Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно. |
Пример 6 |
Исследовать,
является ли ряд Решение. Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся: Рассмотрим
теперь сходимость ряда Следовательно исходный ряд сходится условно. |
Пример 7 |
Определить,
является ли ряд Решение. Сначала применим признак Лейбница: Следовательно,
данный ряд сходится. Выясним, является
ли эта сходимость абсолютной или
условной. Воспользуемся предельным
признаком сравнения и сравним
соответствующий ряд из модулей Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся. |
.
и 
сходятся.
называется абсолютно
сходящимся,
если ряд 
также
сходится.
Если ряд
сходится
абсолютно, то он является сходящимся
(в обычном смысле). Обратное утверждение
неверно.
Ряд
называется условно
сходящимся,
если сам он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится. 
.
.
Следовательно, данный ряд сходится. 
.
абсолютно
сходящимся, условно сходящимся или
расходящимся?
абсолютно
сходящимся, условно сходящимся или
расходящимся?
.
Вычислим этот предел по правилу
Лопиталя:
.
Применим признак Даламбера к ряду 
,
составленному из модулей:
абсолютно
сходящимся, условно сходящимся или
расходящимся?
,
составленного из модулей соответствующих
членов. Используя интегральный признак
сходимости, получаем
абсолютно
сходящимся, условно сходящимся или
расходящимся?
с
расходящимся гармоническим рядом 
: