2.3 Турбулизация пограничного слоя

Из опыта следует, что ламинарное (слоистое) течение в пограничном слое наблюдается лишь на начальном участке поверхности обтекаемого тела (зона 1 на рисунке 2.4) далее, при достаточной протяженности тела наблюдается турбулизация пограничного слоя (точки перехода Т_в и Т_н на верхней и нижней поверхностях тела). В зоне 2 турбулентное течение отличается пульсирующим неустановившемся характером. Если вдоль течения давление нарастает (что имеет место, например, при диффузорных течениях), возможен взрыв пограничного слоя (точка S), сопровождающийся расширением вихревой турбулентной зоны 3. В зоне 4 течение можно считать безвихревым, потенциальным.

Рисунок 2.4 - Структура пограничного слоя при его турбулизации

Непосредственно вблизи обтекаемой стенки влияние вязкости особенно сильно, что способствует затуханию турбулентных пульсаций даже вниз по течению от точек Т_в и Т_н. Эта часть пограничного слоя называется ламинарным подслоем; его толщина столь мала, что на рисунке 2.4 он не показан. При наличии крупной шероховатости, выступов, на отсекаемых стенках ламинарный подслой разрушается.

Положение точек перехода (Т_в,Т_н) зависит от величины числа Рейнольдса

Re_x = wx/,

где х - расстояние от передней критической точки 0 (рисунок 2.2). Для плоской пластины. расположенной по линиям тока набегающего потока критическое значение числа Рейнольдса, при котором происходит турбулизация пограничного слоя, близко к значению

Re_{x кр} = (w_ x_кр)/  5 10⁵.

Это значение уменьшается при диффузорном и увеличивается при конфузорном течениях.

Приведенные выше дифференциальные уравнения пограничного слоя Л. Прандтля получены для ламинарного пограничного слоя. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями жидкости резко возрастает (вместо молекулярного, он становится молярным), и уравнения Прандтля становятся непригодными. Напряжения турбулентного трения зависят от величины числа Рейнольдса, шероховатости поверхности (как в длинных трубах), а также от характера изменения давления вдоль стенки. Для расчета турбулентного (а, иногда, и ламинарного) пограничного слоя обычно используют универсальный интегральный метод Кармана. Этот метод не позволяет определить поле скоростей в пограничном слое, но дает возможность вычислить его толщину и распределение сил трения по поверхности обтекаемого тела значительно проще, чем при использовании дифференциальных уравнений.

2.4 Расчет пограничного слоя по методу Кармана

Выберем два сечения пограничного слоя, нормальные к обтекаемой стенке на расстоянии x (см. рисунок 2.5) и применим к объему жидкости, ограниченному контуром АВСD теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона) (ширину данного объема в направлении оси z выберем единичную z = 1):

[(mw)]/ t = F,

или в проекции на ось х:

[(mw_x)]/ t = F_x. (2.6)

Рисунок 13.6 - К расчету пограничного слоя интегральным методом Кармана

Здесь F равнодействующая сил, приложенных к объему жидкости, втекающей через АВ и ВС, а вытекающей через СD.

Вычислим сначала левую часть этого уравнения. Масса жидкости, поступающая через АB на участке у за время t равна w_xdyt, и несет количество движения w_х² dyt, а через все сечение АВ соответственно

m_ав = t w_хdy и (mw_x)АВ = t w_х²dy.

Тогда приращение количества движения от сечения АВ до СД составит

(mw_x)_CВ - (mw_x)_АВ =

= (t w_х²dy)_СD - (t w_хdy)_АВ = (t w²_хdy).

Поскольку на границе пограничного слоя скорость потока равна U, а масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне через сечение ВС равна разности масс, поступающей через АВ и вытекающей через СD, т. е.

m = (t w_хdy)_CD - (t w_хdy)_АВ = (t w_хdy).

то количество движения, вносимое через ВС, равно

(mw_x)_ВС = Um = U(t w_хdy).

Тогда полное изменение количества движения в направлении х - левая часть уравнения (2.6):

[(mw_x)]/t = [(mw_x)_CD - (mw_x)_АВ - (mw_x)_ВС]/t =

= ( w²_хdy) - U w_хdy.

Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем - правую часть уравнения (2.6). В направлении х действует сила давления p на грань АВ, а навстречу ей, на грань СD действует сила давления

(p +p)(  + ), где p и  - приращение давления и толщины пограничного слоя на участке х. Кроме того, на ВС действует сила давления р, а со стороны стенки АD - сила трения - х, где  - напряжение трения. Суммируя эти силы, получим:

F_x = p - (p +p)(  + ) + p - x = - p - x.

После подстановки в уравнение импульсов (2.6), деления на х и перехода к пределу х 0, получим интегральное соотношение Кармана (1921) для плоского пограничного слоя:

(d/dx) w²_хdy - U (d/dx) w_хdy = -  dp/dx - . (2.7)

Если продольный градиент давления dp/dx выразить через скорость внешнего потока U (по уравнению Бернулли)

- dp/dx = U dU/dx,

то уравнение Кармана (2.7) можно переписать в виде:

dy - U dy = U (dU/dx) -  /. (2.7¹)

Вывод уравнения Кармана (2.7) и (2.7¹) не содержит каких - либо предположений о природе касательного напряжения . Поэтому уравнение (2.7) и (2.7¹) применимы как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Здесь предполагается известным распределение скоростей во внешнем потоке, т. е. величины U и dU/dx (они могут быть определены методами гидродинамики идеальной жидкости или из опыта). Неизвестными величинами здесь являются w_x,  и  (а в случае сжимаемой жидкости - и плотность ). Для определения толщины  пограничного слоя и касательного напряжения  у стенки приходится задаваться распределением скоростей в слое. Поскольку скорость w_x внутри слоя входит в уравнение Кармана только под интегралом, можно пользоваться приближенным значением распределения w_x без заметной погрешности вычислений.

Преобразуем (2.7¹) следующим образом.

Имея в виду тождество

(U dy) = dy + U dy,

уравнение (13.11¹) преобразуем к виду

dy - (U dy) + dy - U =

= - (Uw_x - w_x²)dy - (U - w_x)dy = -  /,

или, введя *, ** и меняя знаки:

(U² **) + U * =  /,

или, выполнив дифференцирование и деля на U²):

d**/dx + (2** + *) =  /(U²). (2.7¹¹)

В этой форме записи уравнения неизвестными являются *, ** и .

Задача 1

В замкнутом сосуде с водой абсолютное давление на свободной поверхности равно р_о = 2,85 кГ/см². На какую высоту Н поднимется вода в открытой трубе, сообщающейся с сосудом на глубине h (м) под свободной поверхностью (рис. 2)?

Рис. 2

Дано: р₀ = 2,85 кГ/см², h = 1,4 м = 140 см.

Определить: H.

Решение

По условию задачи нам требуется определить, на какую высоту поднимется вода в открытой тонкой трубке, сообщающейся с сосудом; а это есть не что иное, как пьезометрическая высота, которая может быть определена по формуле: ,

где р – абсолютное давление внутри сосуда в точке А;

р_а – атмосферное давление, действующее на воду со стороны открытой части трубки;

p – p_a = p_из, то есть избыточное давление;

 – объемный вес воды.

Зная, что p = p₀ +h и объемный вес воды  = 0,001 кГ/см³, а атмосферное давление р_а = 1,033 кГ/см², можем написать: