6.3. Аннулирующий и минимальный многочлен матрицы над полем.

Многочленом от матрицы над полем называется результат последовательности операций, записанной в форме многочлена с коэффициентами из поля , при .

Определение. Аннулирующим многочленом матрицы называется многочлен , такой, что .

Определение. Минимальным многочленом матрицы над полем называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого .

Теорема. Минимальный многочлен матрицы делит любой аннулирующий многочлен той же матрицы.

Теорема. Степень минимального многочлена матрицы не превосходит ее порядка.

Рассмотрим последовательность ,,, - мерных векторов.

На каждом шаге будем проверять, является ли система полученных векторов зависимой, либо нет. На некотором шаге , векторы впервые окажутся линейно зависимыми, т.е. при некоторых коэффициентах выполнится соотношение .

Многочлен называется минимальным многочленом матрицы относительно вектора . Минимальный многочлен единственен.

Теорема. Минимальный многочлен суммы векторов является наименьшим общим кратным минимальных многочленов векторов – слагаемых.

Теорема. Минимальный многочлен матрицы относительно любого вектора делит минимальный многочлен матрицы.

Замечание. Пусть - квадратная матрица над конечным полем и . Последовательность ,, является периодической. Длина периода зависит от свойств минимального многочлена матрицы относительно вектора .

Очевидно, наименьшее общее кратное минимальных многочленов базисных векторов относительно матрицы является минимальным многочленом этой матрицы.

Замечание. Можно рассматривать матрицы, элементами которых являются функции, скажем, от переменной . В этом случае определитель матрицы также является функцией от .

Стандартным является детерминант вида . Здесь матрица под знаком детерминанта отличается от матрицы тем, что вместо элементов на главной диагонали находятся элементы .

Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы .

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена.