Лекция 6. Линейные преобразования n-мерного векторного пространства над конечным полем.

6.1. Векторы и линейные формы. Базис линейного пространства.

Линейным векторным пространством над полем называется множество , элементы которого называются векторами и для которого выполняются следующие аксиомы.

1.На множестве задано сложение - двуместная коммутативная операция, т.е. : . Результат сложения называется суммой векторов.

2.Сложение векторов ассоциативно.

3.На множестве задано умножение векторов на элементы поля , т.е. отображение вида .

При этом, и , где , .

4.Существование нулевого вектора: .

5.Существование противоположного вектора: .

6. .

Определение. Линейной комбинацией векторов , с коэффициентами называется вектор .

Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно в том и только том случае, когда .

Противоположным понятием является понятие линейно зависимой системы векторов: система векторов линейно зависима, если хотя бы один вектор этой системы представляется в виде линейной комбинации других векторов, принадлежащих системе.

Линейно независимая подсистема системы векторов называется максимальной, если при добавлении к ней любого вектора из системы, система становится линейно зависимой. Количество векторов в максимальной линейно независимой подсистеме называется рангом соответствующей системы векторов.

Таким образом, любой вектор системы представляется линейной комбинацией векторов из максимальной линейно независимой системы.

Линейное векторное пространство называется конечномерным, если в нем существует максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из конечного числа векторов.

Рассмотрим множество , элементами которого являются упорядоченные последовательности элементов поля (эти последовательности принято записывать в качестве столбцов, однако для сокращения занимаемого места мы будем иногда записывать их в строку). Относительно покомпонентной суммы и покомпонентного умножения на элемент поля , построенное множество является линейным векторным пространством над и обозначается .

Очевидно, система , где , а единица находится на -ом месте, является максимальной линейно независимой подсистемой системы .

Можно показать, что все принадлежащие максимальные линейно независимые системы состоят из одного и того же числа элементов.

Определение. Базисом линейного векторного пространства называется система векторов такая, что любой вектор пространства однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов базиса.

Очевидно, базис является максимальной линейно независимой системой.

Если базис выбран, то каждому вектору можно поставить в соответствие упорядоченную последовательность из элементов – коэффициентов линейной комбинации, представляющей вектор через базис. Исходя из этого, легко показать, что любое конечномерное линейное пространство изоморфно при некотором .

Количество векторов в максимальной линейной независимой подсистеме системы называется размерностью линейного векторного пространства . Размерность пространства обозначается . Если , то линейное векторное пространство называется - мерным.