
Лекция 6. Линейные преобразования n-мерного векторного пространства над конечным полем.
6.1. Векторы и линейные формы. Базис линейного пространства.
Линейным
векторным пространством над полем
называется множество
,
элементы которого называются векторами
и для которого выполняются следующие
аксиомы.
1.На
множестве
задано сложение - двуместная коммутативная
операция, т.е.
:
.
Результат сложения называется суммой
векторов.
2.Сложение векторов ассоциативно.
3.На
множестве
задано умножение векторов на элементы
поля
,
т.е. отображение вида
.
При
этом,
и
,
где
,
.
4.Существование
нулевого вектора:
.
5.Существование
противоположного вектора:
.
6.
.
Определение.
Линейной комбинацией векторов
,
с коэффициентами
называется вектор
.
Система векторов
называется
линейно независимой, если равенство
возможно в том и только том случае, когда
.
Противоположным понятием является понятие линейно зависимой системы векторов: система векторов линейно зависима, если хотя бы один вектор этой системы представляется в виде линейной комбинации других векторов, принадлежащих системе.
Линейно независимая подсистема системы векторов называется максимальной, если при добавлении к ней любого вектора из системы, система становится линейно зависимой. Количество векторов в максимальной линейно независимой подсистеме называется рангом соответствующей системы векторов.
Таким образом, любой вектор системы представляется линейной комбинацией векторов из максимальной линейно независимой системы.
Линейное векторное пространство называется конечномерным, если в нем существует максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из конечного числа векторов.
Рассмотрим
множество
,
элементами которого являются упорядоченные
последовательности
элементов поля
(эти последовательности принято
записывать в качестве столбцов, однако
для сокращения занимаемого места мы
будем иногда записывать их в строку).
Относительно покомпонентной суммы и
покомпонентного умножения на элемент
поля
,
построенное множество
является линейным векторным пространством
над
и обозначается
.
Очевидно,
система
,
где
,
а единица находится на
-ом
месте, является максимальной
линейно независимой подсистемой системы
.
Можно
показать, что все принадлежащие
максимальные линейно независимые
системы состоят из одного и того же
числа элементов.
Определение. Базисом линейного векторного пространства называется система векторов такая, что любой вектор пространства однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов базиса.
Очевидно, базис является максимальной линейно независимой системой.
Если
базис выбран, то каждому вектору можно
поставить в соответствие упорядоченную
последовательность из
элементов – коэффициентов линейной
комбинации, представляющей вектор через
базис. Исходя из этого, легко показать,
что любое конечномерное линейное
пространство
изоморфно
при некотором
.
Количество
векторов в максимальной линейной
независимой подсистеме
системы
называется размерностью линейного
векторного пространства
.
Размерность пространства
обозначается
.
Если
,
то линейное векторное пространство
называется
-
мерным.