6.3. Расчет балок на прочность
Задача 6.3.1:
Из таблицы сортаментов для двутавровых
балок имеем:
В
опасном сечении балки, выполненной из
пластичного материала (допускаемое
напряжение []
= 160
МПа),
значение изгибающего момента
.
Отношение массы балки прямоугольного
сечения (с отношением сторон
)
к массе балки двутаврого сечения равно….
1) 0,985; 2) 4,92; 3) 3,34; 4) 3,1.
Решение:
1) Ответ неверный! Допущена ошибка в использовании отношения моментов сопротивления изгибу. Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений. Балка прямоугольного сечения тяжелее балки двутаврового сечения в 3,1 раза.
2) Ответ неверный!
Допущена
ошибка в расположении прямоугольной
балки для наибольшего сопротивления
изгибу. Правильно балку необходимо
располагать в положении 1, а не 2. В этом
случае момент сопротивления изгибу
будет больше:
;
.
3) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении профиля двутавровой балки. По условию прочности необходимо брать двутавр с моментом сопротивления изгибу большим, чем расчетный (№ 20а). В данном случае взят двутавр с меньшим моментом сопротивления (№ 20).
4) Ответ
верный.
Составим условие прочности при изгибе
балки
.
Момент сопротивления
Ближайший
стандартный двутавровый профиль
подбираем по сортаменту:
.
Для
прямоугольного сечения имеем:
;
.
Задача 6.3.2: Чугунная балка обладает наибольшей грузоподъемностью при расположении поперечного сечения, показанном на рисунке…
1)
;
2)
;
3)
;
4) Все представленные варианты сечения равноценны
Решение:
1) Ответ верный. При изгибе балки внешней нагрузкой, как показано на рисунке, в нижних точках сечения материал работает на растяжение. На растяжение хрупкий материал (чугун) работает плохо, но и напряжения в этих точках небольшие. В верхней точке поперечного сечения действует сжимающее напряжение (в два раза больше, чем растягивающее напряжение в нижних точках), и материал (чугун) на сжатие работает хорошо. Ориентация поперечного сечения согласована с прочностными характеристиками материала. Поэтому при данном расположении поперечного сечения и действующих нагрузках балка обладает наибольшей грузоподъемностью.
2) Ответ неверный! Чугун хорошо работает на сжатие и плохо на растяжение. Поэтому при рациональном расположении поперечного сечения максимальные сжимающие напряжения должны быть больше максимальных растягивающих напряжений (по абсолютной величине). Это условие выполняется, если сечение несимметрично относительно нейтральной оси.
3) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении положения опасных точек поперечного сечения. При изгибе балки внешней нагрузкой, как показано на рисунке, растяжение возникает в нижних слоях. Чугун, как хрупкий материал, на растяжение работает хуже, чем на сжатие. Напряжение растяжения в наиболее удаленной от нейтральной оси нижней точке в этом случае будет значительно превышать напряжения сжатия в самых верхних точках.
4) Ответ неверный! Данное утверждение будет справедливо для растяжения-сжатия. При изгибе балки внешней нагрузкой, как показано на рисунке, растяжение возникает в нижних слоях, сжатие – в верхних. Чугун хорошо работает на сжатие и плохо на растяжение. Поэтому при рациональном расположении поперечного сечения максимальные сжимающие напряжения должны быть больше максимальных растягивающих напряжений (по абсолютной величине). Это условие выполняется, если сечение несимметрично относительно нейтральной оси.
Задача 6.3.3: Консольная балка нагружена, как показано на схеме. Материал балки одинаково работает на растяжение и сжатие. Допускаемое напряжение , размеры b и l заданы. Из расчета по допускаемым напряжениям значение силы …
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение:
1) Ответ
неверный!
Допущена ошибка при вычислении значения
Необходимо
вспомнить, что в формуле при определении
нормальных напряжений
означает
расстояние от главной центральной оси
до точки, в которой определяется
нормальное напряжение. В данной задаче
так
как максимальные напряжения возникают
в точках, наиболее удаленных от главной
центральной оси.
2) Ответ
верный.
Составим условие прочности по допускаемым
нормальным напряжениям
.
Максимальное нормальное напряжение
найдем по формуле
Для
данной схемы нагружения балки, размерах
и форме поперечного сечения
После
подстановки получим
3) Ответ
неверный!
Допущена ошибка при определении
изгибающего момента в опасном сечении
балки. Изгибающий момент в опасном
сечении балки
4) Ответ
неверный!
При вычислении осевого момента инерции
сечения допущена арифметическая ошибка.
Значение
при
заданных размерах прямоугольного
сечения определяется из выражения
Задача 6.3.4: Полная проверка прочности балки при изгибе включает в себя…
1) проверку по касательным напряжениям, проверку по главным напряжениям и расчет на жесткость;
2) проверку по нормальным напряжениям и проверку по касательным напряжениям;
3) проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям, проверку по главным напряжениям и расчет на жесткость;
4) проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям и проверку по главным напряжениям.
Решение:
1) Ответ неверный! Расчет на жесткость к проверке на прочность не относится. Необходимо добавить еще проверку по нормальным напряжениям, которая является основной проверкой прочности балки.
2) Ответ неверный! Необходимо добавить еще проверку по главным напряжениям. В то же время необходимо помнить, что проверка по нормальным напряжениям является основной и в подавляющем большинстве случаев обеспечивает прочность по касательным и главным напряжениям.
3) Ответ неверный! Расчет на жесткость к проверке на прочность не относится.
4) Ответ
верный.
Полная проверка прочности балки при
изгибе включает в себя три проверки:
-
по нормальным напряжениям
;
-
по касательным напряжениям
;
-
по главным напряжениям
.
Проверка
по нормальным напряжениям является
основной проверкой и в подавляющем
большинстве случаев единственно
необходимой.
Задача 6.3.5: Балки имеют прямоугольное поперечное сечение (переменную высоту и постоянную ширину). Лучше работать на изгиб при данных условиях закрепления и нагружения будет балка…
1)
;
2) Все балки на изгиб работают одинаково;
3)
;
4)
Решение:
1) Ответ
верный.
Балки, у которых при заданной нагрузке
максимальные напряжения во всех сечениях
одинаковы, называются балками равного
сопротивления изгибу. Пусть ширина
балки b,
высота балки есть функция от координаты
h(x).
Изгибающий момент в текущем сечении
балки
.
Момент сопротивления изгибу текущего
сечения
.
Следовательно, наибольшие напряжения
в текущем сечении
.
В
среднем сечении балки имеем
Приравнивая
правые части последних выражений,
получаем:
.
Откуда
.
Т.е. высота сечения меняется по закону
квадратной параболы (см. рис.).
Наиболее
близкой к ней по форме будет
2) Ответ неверный! Незнание теории балки равного сопротивления изгибу. Балки, у которых при заданной нагрузке максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы, называются балками равного сопротивления изгибу. Поэтому изменение конфигурации поперечного сечения балки по длине влияет на ее изгиб в целом.
3), 4) Ответ неверный! Высота сечения для балки равного сопротивления изгибу при данном виде нагружения и закрепления меняется по закону квадратной параболы.
Задача 6.3.6: Проверка на прочность по касательным напряжениям необходима в случае, если…
1) длинные балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами, имеющими большое значение;
2) короткие балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами, имеющими большое значение; материал балки плохо сопротивляется сдвиговым деформациям; ширина поперечного сечения балки в районе нейтральной оси мала;
3) длинные балки нагружены сосредоточенными силами и моментами;
4) длинные балки нагружены большими сосредоточенными моментами.
Решение:
1) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении опасного фактора. В этом случае нагружения выполнение условия прочности по нормальным напряжениям обычно обеспечивает прочность и по касательным напряжениям.
2) Ответ
верный.
Проверка на прочность по касательным
напряжениям необходима для коротких
балок, нагруженных силами, имеющими
большие значения. Поперечные силы
,
в этом случае относительно велики, а
изгибающие моменты относительно малы
и касательные напряжения
могут
быть весьма большими. Расчет на прочность
по касательным напряжениям также
необходимо делать в случаях, если
материал балки плохо сопротивляется
сдвиговым деформациям или в районе
нейтральной оси ширина поперечного
сечения балки мала.
3), 4) Ответ неверный! Ошибка в применении формулы Журавского . При данном виде нагружения выполнение условия прочности по нормальным напряжениям обычно обеспечивает прочность по касательным напряжениям.
Тема:
Расчет балок на прочность
Консольная
балка длиной 
нагружена
равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности 
Поперечное
сечение – равнобедренный треугольник.
Допускаемое нормальное напряжение для
материала балки 
Из
расчета на прочность по нормальным
напряжениям размер поперечного сечения
балки b равен ____ (см).
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
Решение:
Максимальные
нормальные напряжения в балке определяются
по формуле 
В
случае, когда размеры поперечного
сечения балки по длине не меняются,
максимальные нормальные напряжения
возникают в сечении балки, где действует
максимальный изгибающий момент и в
точках, наиболее удаленных от нейтральной
линии. Нейтральная линия совпадает с
главной центральной осью поперечного
сечения перпендикулярной плоскости
действия изгибающего момента. Максимальный
изгибающий момент 
действует
в сечении балки вблизи заделки. Центр
тяжести треугольного сечения расположен
на расстоянии 
от
основания треугольника, то есть 
Осевой
момент инерции относительно главной
центральной оси x равен 
а
расстояние 
После
вычислений 
Из
условия прочности по нормальным
напряжениям 
получим 
Тема: Расчет балок на прочность При плоском изгибе максимальные нормальные напряжения действуют в точках поперечного сечения, …
|
|
|
наиболее удаленных от нейтральной линии |
|
|
|
лежащих на нейтральной линии |
|
|
|
расположенных в плоскости действия момента |
|
|
|
лежащих в плоскости перпендикулярной действию момента |
Решение:
Распределение
нормальных напряжений по высоте
поперечного сечения балки определяется
уравнением
где
–
изгибающий момент в поперечном сечении,
в котором определяются нормальные
напряжения;
–
осевой момент инерции сечения относительно
главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости действия изгибающего
момента;
y –
расстояние от главной центральной оси
до точки, в которой определяется
нормальное напряжение.
Геометрическое
место точек в поперечном сечении, где
нормальные напряжения равны нулю,
называется нейтральной линией. Нейтральная
линия совпадает с главной центральной
осью сечения x.
В
конкретном поперечном сечении
величины
и
заданы.
Переменной является параметр y. При
увеличении расстояния y значение 
увеличивается.
Следовательно, максимальные нормальные
напряжения действуют в точках наиболее
удаленных от нейтральной линии.
Тема:
Расчет балок на прочность
Однопролетная
деревянная балка длиной 
нагружена
равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности q.
Диаметр поперечного сечения 
Значение
допускаемого нормального напряжения 
Из
расчета на прочность по нормальным
напряжениям максимально допустимое
значение интенсивности нагрузки q равно ____ 
|
|
|
5,88 |
|
|
|
5,58 |
|
|
|
6,24 |
|
|
|
4,68 |
Решение:
Учитывая,
что размеры поперечного сечения балки
по длине не меняются, воспользуемся
формулой 
Максимальный
изгибающий момент 
возникает
в середине пролета балки. Для круглого
поперечного сечения 
Тогда 
Из
условия прочности по нормальным
напряжениям 
найдем 
или 
Тема:
Расчет балок на прочность
Консольная
балка прямоугольного сечения нагружена
силой 
Допускаемое
нормальное напряжение для материала
балки 
,
линейный размер 
.
Наибольшая длина консоли 
из
расчета на прочность по нормальным
напряжениям равна ___ см.
|
|
|
64 |
|
|
|
32 |
|
|
|
128 |
|
|
|
96 |
Решение:
Условие
прочности по допускаемым нормальным
напряжениям имеет вид
.
Наибольшее
нормальное напряжение действует в
сечении балки вблизи заделки, где
возникает максимальный изгибающий
момент 
,
и определяется по формуле
Осевой
момент сопротивления при заданных
размерах поперечного сечения
равен 
Следовательно, 
Откуда 
или 
Тема:
Расчет балок на прочность
Однопролетная
двухконсольная балка нагружена силой F.
К балке дополнительно прикладывается
сила 
С
изменением схемы нагружения прочность
балки …
|
|
|
не изменится |
|
|
|
уменьшится в два раза |
|
|
|
увеличится в два раза |
|
|
|
уменьшитсяв в четыре раза |
Решение: Размеры балки и материал не изменились. Поэтому при оценке прочности необходимо учитывать только значения внутренних силовых факторов: поперечной силы и изгибающего момента. В обоих вариантах нагружения максимальные значения внутренних силовых факторов одинаковы. Следовательно, прочность балки не изменится.
Тема: Расчет балок на прочность Консольная балка длиной нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Поперечное сечение – равнобедренный треугольник. Допускаемое нормальное напряжение для материала балки Из расчета на прочность по нормальным напряжениям размер поперечного сечения балки b равен ____ (см).
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
Решение: Максимальные нормальные напряжения в балке определяются по формуле В случае, когда размеры поперечного сечения балки по длине не меняются, максимальные нормальные напряжения возникают в сечении балки, где действует максимальный изгибающий момент и в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Нейтральная линия совпадает с главной центральной осью поперечного сечения перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента. Максимальный изгибающий момент действует в сечении балки вблизи заделки. Центр тяжести треугольного сечения расположен на расстоянии от основания треугольника, то есть Осевой момент инерции относительно главной центральной оси x равен а расстояние После вычислений Из условия прочности по нормальным напряжениям получим
Тема: Расчет балок на прочность При плоском изгибе максимальные нормальные напряжения действуют в точках поперечного сечения, …
|
|
|
наиболее удаленных от нейтральной линии |
|
|
|
лежащих на нейтральной линии |
|
|
|
расположенных в плоскости действия момента |
|
|
|
лежащих в плоскости перпендикулярной действию момента |
Решение: Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения балки определяется уравнением где – изгибающий момент в поперечном сечении, в котором определяются нормальные напряжения; – осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; y – расстояние от главной центральной оси до точки, в которой определяется нормальное напряжение. Геометрическое место точек в поперечном сечении, где нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией. Нейтральная линия совпадает с главной центральной осью сечения x. В конкретном поперечном сечении величины и заданы. Переменной является параметр y. При увеличении расстояния y значение увеличивается. Следовательно, максимальные нормальные напряжения действуют в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.
Тема: Расчет балок на прочность Однопролетная деревянная балка длиной нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Диаметр поперечного сечения Значение допускаемого нормального напряжения Из расчета на прочность по нормальным напряжениям максимально допустимое значение интенсивности нагрузки q равно ____
|
|
|
5,88 |
|
|
|
5,58 |
|
|
|
6,24 |
|
|
|
4,68 |
Решение: Учитывая, что размеры поперечного сечения балки по длине не меняются, воспользуемся формулой Максимальный изгибающий момент возникает в середине пролета балки. Для круглого поперечного сечения Тогда Из условия прочности по нормальным напряжениям найдем или
Тема: Расчет балок на прочность Консольная балка прямоугольного сечения нагружена силой Допускаемое нормальное напряжение для материала балки , линейный размер . Наибольшая длина консоли из расчета на прочность по нормальным напряжениям равна ___ см.
|
|
|
64 |
|
|
|
32 |
|
|
|
128 |
|
|
|
96 |
Решение: Условие прочности по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид . Наибольшее нормальное напряжение действует в сечении балки вблизи заделки, где возникает максимальный изгибающий момент , и определяется по формуле Осевой момент сопротивления при заданных размерах поперечного сечения равен Следовательно, Откуда или
Тема: Расчет балок на прочность Однопролетная двухконсольная балка нагружена силой F. К балке дополнительно прикладывается сила С изменением схемы нагружения прочность балки …
|
|
|
не изменится |
|
|
|
уменьшится в два раза |
|
|
|
увеличится в два раза |
|
|
|
уменьшитсяв в четыре раза |
Решение: Размеры балки и материал не изменились. Поэтому при оценке прочности необходимо учитывать только значения внутренних силовых факторов: поперечной силы и изгибающего момента. В обоих вариантах нагружения максимальные значения внутренних силовых факторов одинаковы. Следовательно, прочность балки не изменится.