Сопромат 23625
.pdfЗадача 1
Для заданной схемы поперечного сечения балки, состоящего из швеллера
истали угловой равнополочной требуется:
1)определить положение центра тяжести;
2)найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести (Xc, Yc);
3)определить направление главных центральных осей;
4)найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей;
5)определить моменты сопротивления и радиусы инерции относительно центральных и главных центральных осей инерции;
6)вычертить сечение в масштабе 1:2, указать на нём все размеры в числах и все оси.
Решение
Геометрические характеристики прокатов:
двутавр № 20:
моменты инерции – Jхд= 1440 см4, Jyд = 115 см4; моменты сопротивления – Wxд = 184 см3, Wyд = 23,1 см3; площадь поперечного сечения – = Fд = 26,8 см2;
высота двутавра – hд = 20 см; ширина полки двутавра – bд = 10 см;
Jху = 0
Сталь угловая неравнополочная 125х80х8
моменты инерции – Jху = 256 см4, Jуу = 83 см4; моменты сопротивления – Wxу = 64 см3, Wyу = 36,4 см3; площадь поперечного сечения – Fу = 16 см2;
расстояние от основания уголка до оси Х – х0 = 1,84 см; расстояние от основания уголка до оси У – у0 = 4,05 см;
Jху =119,2 см4
Найдём координаты центра тяжести сечении в координатах х1 и у1
х |
|
|
Fд х2 |
|
26,8 3,16 |
1,98 см =19,8 мм |
|||||
с |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Fу |
Fд |
|
|
16 26,8 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
у |
|
|
Fд у2 |
|
|
26,8 ( 14,05) |
8,78 см с= -87,8 мм |
||||
с |
|
|
|||||||||
|
|
|
Fу |
Fд |
|
|
16 26,8 |
||||
|
|
|
|
|
|
у1 |
у |
|
|
у2 |
|
хс |
|
|
|
80 |
|
125 |
х2 |
|
|
|
|
С1 |
|
х1 |
|
|
с |
|
|
у |
С |
|
|
2 |
|
х |
у |
|
|
|
|
|
200 |
С2 |
х2 |
|
100 |
Определим площадь сечения:
F = Fд + Fу = 26,8+16 = 42,8 см2
Через точку С проводим взаимно перпендикулярные оси х и у, которые являются случайными центральными осями заданного сечения.
а1 |
= |
-1,98см; |
d1 |
= 8,78 см; |
а2 |
= |
1,18см; |
d2 |
= -5,27 см; |
Вычисляем моменты инерции относительно осей х и у
J |
x |
Jу |
F |
а2 |
Jд |
x |
F |
а2 |
256 16 ( 1,98)2 1440 26,8 1,182 1796 см4 |
|
x |
у |
1 |
|
д |
2 |
|
||
J |
у |
Jу |
F |
d2 |
Jд |
у |
F |
d2 |
83 16 8,782 115 26,8 ( 5,27)2 2175,7 см4 |
|
у |
у |
1 |
|
д |
2 |
|
Jху Jу ху Fу а1 d1 Jд ху Fд а2 d2
119,2 16 ( 1,98) 8,78 26,8 1,18 ( 5,27) 325,6 см4
Определяем моменты сопротивления и радиусы инерции:
i |
|
|
Jx |
|
|
1796 |
6, 48 см |
x |
|
|
|||||
|
|
F |
42,8 |
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
Jy |
|
|
2175,7 |
|
7,13 см |
y |
F |
42,8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
W |
Jx |
|
1796 |
277,2 см3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
ix |
|
|
6,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
Jy |
|
|
2175,7 |
305,1 см3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
iy |
|
|
7,13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поскольку Jху ≠0, найдём положение главных центральных осей: |
||||||||||||||||||
tg2 |
2 J |
ху |
|
|
|
2 ( 325,6) |
|
0,0299 |
; |
α = 1,72° |
||||||||
Jx |
Jy |
|
1796 |
2175,7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sinα = 0,03 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = 0,999; |
sin2α = 0,06 ; |
cos2α =0,998; |
|||||||
sin2α = 0,0009 |
|
|
|
|
|
|
cos2α = 0,999. |
|
|
|
Поворачиваем оси х и у на угол α = 1,72° против часовой стрелки, получаем главные центральные оси U и V.
Находим главные центральные моменты инерции:
JU Jx cos2 Jy sin2 Jxy sin 2
1823,3 0,999 2175,7 0,0009 ( 325,6) 0,06 1842,9 см4 JV Jx sin2 Jy cos2 Jxy sin 2
1783 0,114 999,7 0,886 ( 140,2) ( 0,337) 1136,2 см4
|
|
|
Прверка:Jx+ Jy = JU+ JV |
3999 = 3999 |
|
||||
J |
|
|
Jx Jy |
sin 2 J |
|
cos 2 |
1823,3 2175,7 |
|
0,0009 ( 325,6) 0,998 325,1 см4 |
UV |
|
xy |
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
у1 |
V |
у |
|
|
|
|
|
у2 |
|
|
|
а1 |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
х1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
2 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
200 |
|
С2 |
|
|
х2 |
|
|
|
|
100 |
Определяем моменты сопротивления и радиусы инерции:
i |
|
|
|
|
JU |
|
|
|
|
1842,9 |
|
|
6,56 см |
||||||
U |
|
|
F |
42,8 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
JV |
|
|
|
|
|
2155,6 |
|
7,09 см |
||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
42,8 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W |
|
|
JU |
|
|
|
1842,9 |
|
281 см3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
U |
|
|
iU |
|
|
|
6,56 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
W |
|
|
JV |
|
|
|
2155,6 |
304 см3 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
V |
|
|
iV |
|
|
|
7,09 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3
Стальной стержень находится под действием силы F и собственного веса. Необходимо построить эпюры нормальных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений стержня относительно закрепления. Показать в задании определение нормальных сил, напряжений и перемещений в характерных сечениях.
Модуль упругости для стали – Е = 2 1011 Па, Удельный вес стали – = 78 кН/м3 = 78000 Н/м3; F = 1,2 кН = 1200 Н;
А = 2,0 см2 = 2∙10-4;
а = 20 м; b = 11 м; с = 13 м.
Решение Определяем нормальные силы и строим эпюру нормальных сил
Определим вес участков
Q1 = ∙2∙А∙а= 78000∙2∙2∙10-4∙20 = 624 Н Q2 = ∙А∙(b+с) = 78000∙2∙10-4∙21 = 374,4 Н Q'2 = ∙А∙с = 78000∙2∙10-4∙13 = 202,8 Н
N1 = Q1+F + Q2 = 624+1200+374,4 = 2198,4 Н N2 = F + Q2 = 1200+374,4 = 1574,4 Н
N3 = Q'2+ F = 202,8+1200 = 1402,8 Н
Определяем напряжения
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
2198.4 |
5496000 Н / м2 5,49 МПа |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 10 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
1574,4 |
|
7872000 Н / м2 |
7,87 МПа |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
2 10 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3 |
|
|
1402,8 |
|
|
7014000 Н / м2 |
7,01 МПа |
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
A |
|
|
|
2 10 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем перемещения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
l1 |
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
а |
|
|
|
F (а b) |
|
|
|
Q2 (b c) |
|
|
1 |
|
Q1 а 4 F (a b) 2 Q2 (b c) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E A |
2 |
E A |
|
E 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 E 2 A |
|
|
2 |
A |
|||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
624 20 4 1200 31 2 374,4 24 1.12 10 3 м 1,12 мм |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 2 |
1011 2 2 10 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
F b |
|
|
|
Q2 (c b) |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 F |
b Q2 (c b) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E A |
2 E A 2 |
E A |
|
|
|
|
|
|
l |
|
1 |
|
2 1200 11 374, 4 24 |
4, 42 104 м 0, 44 мм |
||||
2 |
2 2 |
1011 2 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
c |
202,8 13 |
|
5 |
|
|
|
|
l3 |
2 E A |
2 2 1011 2 10 4 3,29 |
10 |
|
м |
0,033 мм |
|
||
Перемещение всего стержня |
|
|
|
|
|
||||
l = l + l + l 1,12 0,44 0,033 0,593 мм |
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема 5 |
|
|
|
Эпюра ,МПа |
Эпюра l ,мм |
|
2А |
|
|
|
Эпюра N, Н |
|
||||
|
|
|
|
2198,4 |
|
|
|
5,49 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1574,4 |
|
|
|
7,87 |
1,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
1402,8 |
|
|
|
7,01 |
1,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
c |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,593 |
|
|
А |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Задача 5
Схема 5 Стальной вал круглого сечения нагружен внешними моментами в соот-
ветствии с заданной схемой. Требуется построить эпюру вращающих моментов и из условия прочности определить диаметр вала, округлив расчётное значение до ближайшего числа из ряда стандартных линейных размеров. Допускаемое напряжение принять [ ] = 80 МПа, модуль сдвига для стали – G = 8 1010 Па = 8∙104 МПа.
Для принятого диаметра вала построить эпюру углов закручивания поперечных сечений относительно крайнего левого сечения. Определить также
наибольший угол закручивания. |
|
||
а = 1,2 м; |
b = 1,8 м |
с = 0,8 м. |
|
Т1 |
= 1,7 кН м; |
Т2 |
= 1,6 кН м; |
Т3 |
= 2,3 кН м; |
Т4 |
= 1,4 кН м. |
Определяем крутящие моменты в сечениях и строим эпюру:
М4 = -Т4 = -1,4 кН м; М3 = -Т4- Т3 = -3,7 кН м;
М2 = -Т4- Т3+ Т2 = -2,1 кН м; М1 = -Т4- Т3+Т2+ Т1 = -0,4 кН м
Момент в заделке Мзад = М1 = -0,4 кН м. Определим диаметр вала из условия прочности
кр |
|
|
Мкр max |
|
|
|
|
|
|
W |
d3 |
||||||
|
|
Wкр |
|
|
|
|
|
|
16 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
16 Мкр max |
|
|
16 3,7 106 |
|
|||||||||
d 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
61,7 мм |
|||
|
|
|
[ ] |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|||||||
Принимаем диаметр вала dф = 62 мм. |
|
||||||||||||||||
Полярный момент инерции вала |
|
||||||||||||||||
J |
|
|
d4 |
|
624 |
1450663 мм4 |
|
||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
32 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т2 |
Т |
Т4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т1 |
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
b |
c |
a |
|
ЭМ, кН*м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,1 |
|
-3,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0611 |
0,0756 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0041 |
|
|
0,0361 |
|
|
|||||
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определяем углы закручивания и строим эпюру |
|||||||||||||||||||
|
|
Мзад а |
|
0,4 106 |
1200 |
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
G J |
р |
|
8 104 |
1450663 |
0,0041 рад |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(М |
зад |
Т ) b |
|
|
|
2,1 106 1800 |
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
1 |
|
8 104 1450663 0,032 рад |
||||||||||||
|
|
G J |
р |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(М |
зад |
Т Т |
2 |
) с |
|
3,7 106 800 |
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8 104 1450663 0,025 рад |
|||||||||
|
|
|
|
|
G J |
р |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( М |
зад |
Т Т |
2 |
Т |
) а |
1,4 106 |
2000 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
8 104 1450663 |
0,0145 рад |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
G J |
р |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший угол закручивания – max = 0,0756 рад. |
|||||||||||||||||||
Находим максимальный относительный угол закручивания. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0,032 0,018 |
1 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
м |
|
|
Задача № 6
У статически определимой балки требуется:
1)определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для каждого участка балки необходимо записать предварительно уравнения определяемых величин для произвольных сечений;
2)в задаче 6 а) из условия прочности подобрать номер профиля
стальной балки двутаврового сечения. Вычислить для неё максимальные значения нормального и касательного напряжений.
Определить прогибы в характерных точках (2–3 точки, кроме опорных). По найденным значениям построить изогнутую ось балки.
3) в задаче 6 б) из условия прочности подобрать деревянную балку прямоугольного сечения при соотношении высоты сечения к ширине 4:1.
F = 15 кН; q = 14 кН/м;
М = 15 кН м; а = 2,5 м;
b = 2,2 м; с = 1,1 м.
6 а) |
6 б) |
Решение
6 а)
1. Реакция опоры в заделке, кН
RA F q(а b) 32 14 (2,5 2,2) 97,8
2. Момент в заделке, кН·м
M з M q (b a)2 F a
2
15 14 (2,2 2,5)2 32 2,5 219,63 2
3. Построим эпюру поперечных сил, кН: I участок:
QI 0
II участок:
QII QI qdz; ;
при z = b:
QII 0 14 2,2 30,8
III участок:
QIII QII qdz;
при z = a:
QIII 30,8 14 2,5 65,8
4. Построим эпюру изгибающих моментов, кН·м: I участок:
M I М
M I 15
II участок:
M II |
М |
qdz2 |
; |
|
|||
|
2 |
|
при z = b:
|
14 2,22 |
||
M II 15 |
|
18,88 |
|
2 |
|||
|
|
III участок:
|
(b dz) |
||
M III |
Fdz q(b dz) |
|
|
2 |
|||
|
|
|
M ; |
dz |
|
|
|
при z = 0:
|
|
(2,2) |
|
|
|
|
M III |
14(2,2) |
|
|
15 |
18,88 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
при z = а:
|
(2,2 2,5) |
||
M III |
15 2,5 14(2,2 2,5) |
|
|
2 |
|||
|
|
|
15 |
341,63 |
2,5 |
||
|
|
|
10