Затухающий гармонический осциллятор
Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:
Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:
Здесь
введено обозначение: 
.
Коэффициент 
носит
название постоянной затухания. Он тоже
имеет размерность частоты.
Решение же распадается на три случая.
При малом трении (
)
общее решение записывается в виде:
,
где 
—
частота свободных колебаний.
Затухание
называют критическим.
Начиная с такого значения показателя
затухания, осциллятор будет совершать
так называемое неколебательное
движение. В граничном случае движение
происходит по закону:
При сильном же трении
решение
выглядит следующим образом:
,
где 
Консервативный гармонический осциллятор
Второй
закон Ньютона для
такого осциллятора запишется в виде: 
.
Если ввести обозначения: 
и
заменить ускорение на
вторую производную от
координаты по времени, то получим
следующее обыкновенное
дифференциальное уравнение:
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
,
где 
—
произвольные постоянные, которые
определяются из начальных условий.
Найдём
частное решение. Для этого подставим
в уравнение решение вида: 
и
получим значение для константы:
Тогда окончательное решение запишется в виде:
Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания
[Править]Резонанс
Из
решения видно, что при частоте вынуждающей
силы, равной частоте свободных колебаний,
оно не пригодно — возникает резонанс,
то есть «неограниченный» линейный рост
амплитуды со временем. Из курса математического
анализа известно,
что решение в этом случае надо искать
в виде: 
.
Подставим этотанзац в дифференциальное
уравнение и
получим, что :
Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:
11)Общее понятие о волновом движении.Классификаця волн. Поток энергии.Гармоническая волна.Волновое уравнение.
Волна́ — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве
Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические.
Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформации полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.
Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде с некоторой скоростью v.
Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.
Звуковыми или акустическими волнами называются упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны с частотами меньше 16 Гц (инфразвук) и больше 20000 Гц (ультразвук) органами слуха человека не воспринимаются.
Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В попречных - в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Продольные волны могут возбуждаться в твердых, жидких и газообразных средах. Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.
Отметим, что распространение упругих волн не связано с переносом вещества. Бегущие волны переносят энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Обозначим через скорость распространения волны. Если направление смещения и скорость частицы совпадают с направлением скорости волны, то волна называется продольной. Если скорость частицы и направление смещения взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.
Также волны бывают сферические и плоские. Не большой источник звука излучающий равномерно во все стороны, создаетвокруг себя сферическую волну, в которой сжатия и разрежения воздуха расположены в виде концентрических шаровых слоев. Участок сферической волны, малый по сравнению с расстоянием до ее источника, можно приближенносчитать плоским. Это относится к волнам любой физической природы – и к механическим,и к электромагнитным. Так любой участок (в пределах земной поверхности) световых волн, приходящих от звезд, можно рассматривать как плоскую волну.