2.1. Решить задачу линейного программирования графическим методом
F = -6 x1 + 9 x2
При следующих условиях:
x1
+ 3 x2
9
-2
x1
+ x2
5
2 x1 -3 x2 0
3.1 Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1-2x2+3x3-x4 при следующих условиях-ограничений.
2x1-x2+2x3-3x4≤5
x1+2x2-x3+x4≤3
2x1-1x2 + 2x3-3x4 + 1x5 + 0x6 = 5
1x1 + 2x2-1x3 + 1x4 + 0x5 + 1x6 = 3
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x5, x6,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,5,3)
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x5 |
5 |
2 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
x6 |
3 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
F(X0) |
0 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
min |
x5 |
5 |
2 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
2.5 |
x6 |
3 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
- |
F(X1) |
0 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
После преобразований получаем новую таблицу:
№ |
Базис |
В |
1 |
-2 |
3 |
3 |
-1 |
0 |
Q |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
||||
0 |
x5 |
5 |
2 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
2.5 |
x6 |
3 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
- |
|
∆j |
0 |
-1 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
x3 |
2.5 |
1 |
-0.5 |
1 |
-1.5 |
0.5 |
0 |
|
x6 |
5.5 |
2 |
1.5 |
0 |
-0.5 |
0.5 |
1 |
|
|
∆j |
7.5 |
2 |
0.5 |
0 |
-3.5 |
1.5 |
0 |
|
x3 = 2.5
x6 = 5.5
F(X) = 3*2.5 = 7.5