Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца: Одновременность событий, длина тел, длительность событий в разных системах отсчета

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длиныили, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры (n-1,1) находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Одновременность событий:   По Ньютону, если два события происходят одновременно, то это будет одновременно для любой системы отсчета (время абсолютно). Эйнштейн задумался, как доказать одновременность?

       Возьмем два источника света на Земле А и В 

Если свет встретится на середине АВ, то вспышки для человека, находящегося на Земле, будут одновременны. Но со стороны пролетающих мимо космонавтов со скоростью  υ  вспышки не будут казаться одновременными, т.к.  c = const. 

Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в некоторой точке х системы k происходит событие длительности t_o=t₁-t₂ (t₁,t₂ - моменты начала и конца события). Тогда из преобразований Лоренца (3) можно получить, что длительность этого события в системе отсчета K t = T₁ - T₂ равно t = t_oa, (4)

и поскольку a > 1, то длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Иными словами, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов. Таким образом, промежуток времени между двумя событиями не является инвариантом относительно преобразований Лоренца.

Отметим, что известный “парадокс близнецов” , связанный с фантастическим полетом космонавта, не объясняется соотношением T=ta, поскольку система отсчета, связанная с космонавтом, не является инерциальной.

Длина тел в разных системах отсчета

Пусть в системе k имеется покоящийся стержень, расположенный вдоль оси x, имеющий длину l_o= x₂ - x₁ (x₁, x₂ - координаты начала и конца стержня, индекс о означает, что стержень в системе k покоится). Применяя к х₁ и х₂преобразования Лоренца (3), получим, что длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется (l=X₂-X₁), равна l= l_oa, (5)

и поскольку a > 1, то линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в a^-1 раз (лоренцово сокращение длины): линейные размеры тела наибольшие в той системе отсчета, относительно которой тело покоится. Иными словами, расстояние между двумя точками трехмерного пространства не является инвариантной величиной относительно преобразований Лоренца. Из соотношения (5) следует, что поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Закон сложения скоростей в сто.

СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ЗАКОН - определяет связь между значениями скорости материальной точки по отношению к разл.системам отсчёта, движущимся друг относительно друга. В нерелятивистской физике, когда рассматриваются скорости, малые по сравнению со скоростью света с, справедлив закон сложения скоростей Галилея:  

где u и u' - скорости частицы в двух инерциалъных системах отсчёта К т К' соответственно (система К' движется относительно К со скоростью v). Если скорости движения близки к е, то ф-ла (1) неприменима и справедлив С. с. з. частной (специальной) относительности теории: 

где и - проекции скорости частицы в системе отсчёта К(К')на направления параллельное и перпендикулярное к v. В пределе и ф-лы (2) переходят в (1). В случае, когда скорости и и v параллельны, (2) переписывается в виде 

Из ф-лы (3), в частности, следует, что если и = с, то и и' = с независимо от в, т. е. абс. величина скорости света не зависит от движения системы отсчёта. Тот же вывод справедлив, разумеется, и при произвольном направлении скоростей, когда надо пользоваться ф-лой (2).

В случае неравномерных относит. движений двух систем отсчёта, а также при наличии тяготения (т. е. в случае общей теории относительности) все приведённые соотношения справедливы в локально сопутствующих инерциальных системах отсчёта

, т. е. в таких бесконечно малых системах отсчёта, к-рые в данный момент и в данном месте неподвижны относительно рассматриваемых систем К к К' соответствепно и в к-рых в этот момент нет сил ускорения и нет вращения и деформаций, т. е. они локально инерциальны.