Дифференциальное уравнение 3-го порядка
Получение дифференциального уравнения
Составим дифференциальное уравнение 3-го порядка, по переменной . Используем для этого полученную ранее систему алгебраического и дифференциальных уравнений
.
В этой системе, помимо переменной и ее трех производных, имеются следующие другие переменные
, , , .
Для получения нулевых коэффициентов при других переменных дополним заданную систему уравнений, двумя другими линейно независимыми уравнениями.
Число уравнений в новой системе должно быть на одно больше чем число переменных и их производных, отличных от переменной .
Четвертое уравнение в новой системе получим, дифференцируя алгебраическое уравнение 3).
Пятое уравнение получим, дифференцируя уравнение 2).
Запишем новую систему уравнений, оставляя в правой части уравнений ноль
.
Для упрощения дальнейших преобразований введем новые обозначения коэффициентов при переменных и производных. Обозначим коэффициенты следующим образом
, 
, 
,
, 
,
, 
.
С полученное, в результате линейных преобразований системы, линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами выглядит следующим образом
,
где коэффициенты , , , , будут следующие
,
,
,
,
.
Дополнительное начальное условие для второй производной определим следующим образом
.
Сравним частотные характеристики, полученные через отношение реактивных элементов схемы фильтра, и частотные характеристики, полученные через передаточную функцию уравнения 3-го порядка. Для решения полученного уравнения 3-го порядка используем встроенную процедуру Odesolve.
Сравнение частотных характеристик
Получим
передаточную функцию фильтра
,
используя дифференциальное уравнение
3-го порядка. Определим нули
и полюсы
передаточной функции, используя
встроенную процедуру Solve.
Процедура определения полюсов и нулей
и получения передаточной функции
представлено на Рис. Г.. График полученной
функция представлена на Рис. Г.. Сравнение
частотных характеристик представлено
на Рис. Г..
Рис. Г.9 – Получение передаточной функции. Solve
Рис. Г.10 – Передаточная функция уравнения 3-го порядка
Рис. Г.11 – Сравнение АЧХ и ФЧХ фильтра
Частотные характеристики функции, полученной ранее и частотные характеристики и функции , совпадают.
Решение уравнения средствами Odesolve
На Рис. Г. представлена процедура интегрирования полученных уравнений со следующими исходными данными:
R, C, L, Rn – значения величин элементов;
t - переменная интегрирования;
dlt ( ) - шаг интегрирования;
steps - число шагов интегрирования;
T1 - время интегрирования;
e(t) - единичное входное воздействие.
Результат интегрирования полученного уравнения представлен на Рис. Г..
Рис. Г.12 – Процедуры интегрирования уравнения Odesolve
Рис. Г.13 – Результаты интегрирования уравнения. Odesolve
Преобразуем, по методу Эйлера, полученное уравнение 3-го порядка в разностное уравнение.