Комплексные числа
Комплексным
числом называют [ 1, 2, 6 ] сумму
действительного и мнимого чисел
(
и
– действительные числа,
- мнимая единица). Мнимую единицу (
)
определяют следующим образом:
.
Мнимая единица обладает свойствами:
,
,
и т.д.
Два
комплексных числа
и
считают равными, если равны их
действительные (
)
и мнимые (
)
части.
Два
комплексных числа
и
называют сопряженными.
Комплексное
число можно представить вектором на
комплексной плоскости (Рис. А.), проведенным
из начала координат
в точку
.
Длину
вектора (
),
изображающего комплексное число,
называют модулем этого числа (
).
Аргументом комплексного числа (
)
называют угол между осью действительных
значений и вектором, изображающим
комплексное число (
).
Рис. А.1 – Комплексная плоскость
Вещественную
и мнимую части комплексного числа
обозначают следующим образом
.
Выделяют алгебраическую, показательную и тригонометрическую формы представления комплексного числа:
алгебраическая
форма;
показательная
форма;
тригонометрическая
форма.
Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел:
,
.
Показательная форма удобна при умножении, делении, извлечении корня и логарифмирования комплексных чисел:
,
,
,
,
.
Тригонометрическая форма удобна при переходе от показательной формы к алгебраической форме комплексного числа:
,
.
Умножение
комплексного числа на величину
приводит к повороту вектора комплексного
числа против (по) часовой стрелки на
без изменения длины вектора.
Сопротивление,
содержащее активную и реактивную
составляющую, представляют как комплексное
число
(
-
активная,
-
реактивная часть).
Гармонические функции
Гармоническим током (напряжением) называют ток, периодически изменяющийся во времени по синусоидальному закону [ 1, 6 ]. Мгновенное значение гармонического тока определяет следующим выражением
,
где:
Рис. А.2 ‑ Гармоническая функция
амплитуда
гармонического сигнала (максимальное
значение);
период
гармонического сигнала (время
одного
колебания);
угловая частота (скорость изменения фазы);
начальная
фаза (значение фазы в момент времени
);
фаза
(аргумент синусоидального сигнала).
График гармонической функции представлен на Рис. А..
Мгновенное значение гармонического сигнала заменяют комплексным значением, например:
,
.
Комплексную
величину, представляющую гармоническую
функцию времени, отмечают точкой наверху
(
).
Иногда комплексные величины подчеркивают
снизу (
).
Для описания работы линейной электрической схемы гармонического тока в установившемся режиме используют систему алгебраических уравнений, составленных по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа [ 3 ].
Для
алгебраизации интегро-дифференциальных
уравнений применяют комплексные
величины. В этих уравнениях дифференцирование
и интегрирование мгновенного значения
переменных заменяют умножением
комплексных величин этих переменных
на комплексные числа
и
соответственно:
,
,
.
Полученную таким образом систему алгебраических уравнений можно решать относительно неизвестных комплексных величин.