Формулы алгебры логики.

Атомарные высказывания обозначаются маленькими буквами и называются пропозициональными (или булевыми) переменными. Формулы алгебры логики называются пропозициональные формулы.

Формулой является строка (знакосочетание), которая является пропозициональной переменной либо совпадает с одной из строк ( ), , ( , ( , ( , где A и B – формулы.

Для сокращения числа скобок в формуле принято опускать скобки, не влияющие на результат. Например, вместо (x1и(x2иx3)) пишут х1их2их3 (в силу закона коммутативности).

Соглашение о порядке выполнения (приоритете, силе связывания) операций, позволяет отбросить скобки, связывающие разные операции.

Порядок выполнения логических операций следующий: сначала выполняются операции в скобках, затем операции отрицания, далее - конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Соглашение о приоритетах операций позволяет однозначно восстановить пропущенные скобки. Например, …..

Однако, не все скобки могут быть опущены:

A -> (B -> C) А и (B или C)

(Можно тут еще про польскую запись вставить)

Таблицы истинности.

Логическое значение формулы определяется заданными логическими значениями входящих в неё элементарных высказываний.

Пример. x1=1, x2=1, x3=0. Определить значение формулы

Если же ставится задача определить все возможные значения формулы, строится таблица истинности. В этой таблице начальные столбцы соответствуют исходным (элементарным) высказываниям, а последний результирующему (сложному) высказыванию. В начальных столбцах проставляются все возможные комбинации истинности элементарных высказываний, а в последнем истинность сложного высказывания. Каждой комбинации исходных высказываний в формуле соответствует отдельная строка. Число значений формулы (и число строк таблицы) определяется числом n элементарных высказываний и равно 2^n.

x	y	x	y	xy	xy	p
1	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	1	1

Пример.

Для формулы построить таблицу истинности.

В нашем примере 2²=4.

Равносильные формулы

Две формулы алгебры логики называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений элементарных высказываний, входящих в формулу.

Обозначение: А=В, читается А равносильно В. Примеры: x=xx, x0=0, xx=1.

Легко видеть, что если А=В, то А=В.

Отношение равносильности обладает следующими свойствами:

1) А=А (рефлексивно)

2) Если А=В, то В=А (симметрично)

3) Если А=В и В=С, то А=С (транзитивно)

Теорема об эквивалентной замене: Если формула A содержит подформулу B, и B = C, то А’=A , где А’ образованна из A заменой B на С.

Основные тождества (равносильные формулы) алгебры логики.

1. xy=yx; xy=yx – коммутативность

2. x(yz)= (xy)z; x(yz)= (xy) z; - ассоциативность

3. x(yz)=(xy)(xz); x(yz)=(xy)(xz) – дистрибутивность

4. xx=x; xx=x - идемпотентность;

5. x1=x; x1=1; x0=0; x0=x – законы операций с константами

6. x(yx)=x; x(yx)=x – законы поглощения;

7. xx=0 - закон противоречия;

8. xx=1 - закон исключения третьего

9. x=x – закон двойного отрицания

10. xy = yx – закон контрапозиции;

11. (xy)= xy; (xy)=xy – законы де Моргана;

12. (xy)(xy)=x; (xy)(xy)=x - формулы расщепления (или склеивания)

Все тождества можно доказать, составив таблицы истинности.

Если в тождестве заменить знак = на <-> то получится тавтология.

С помощью основных тождеств можно упрощать логические выражения, т.е. уменьшать количество формул и операций. При этом следует стремиться к замене всех связок на  и .

Кроме перечисленных выше законов для преобразования и упрощения формул булевых функций используются тождества, получившие название правил или операций.

Правило отрицания

Для получения отрицания некоторого выражения достаточно заменить в нем знаки дизъюнкции знаками конъюнкции, знаки конъюнкции знаками дизъюнкции, а все аргументы – их отрицаниями. Если в выражении имеются константы их тоже надо заменить противоположными значениями.

Правило свертки

xx y=xy

x(xy)=xy

Правило обобщенного склеивания (теорема П.С.Порецкого)

xyyzxz=xyyz

(xy)(yz)(xz)=(xy)(yz)

Преобразование импликации

xy= xy;

 (xy)= xy