2сем.ЛА и АГ
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»
Т. А. Матвеева, Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
для студентов специальности 230102.65 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
Волгоград 2011
УДК 519.2
Рецензент:
канд. пед. наук Ребро И. В.
Матвеева Т. А., Агишева Д. К., Зотова С. А., Светличная В. Б. Методические указания, контрольные работы по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» / Т. А. Матвеева, Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная; ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 39 с.: илл.
Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения высших технических учебных, специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Содержит решения типовых примеров, задания для контрольной работы.
Библиогр.: 9 наименований
Волгоградский государственный технический университет, 2011Волжский политехнический институт, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Правила выполнения и оформления контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . 2
Варианты контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Типовой разбор варианта контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Задание 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Задание 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Задание 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Задание 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Задание 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Задание 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Задание 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Задание 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Задание 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Задание 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Задание 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Задание 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Теоретические вопросы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
Правила выполнения и оформления контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без их соблюдения, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.
1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 2-3 см для замечаний рецензента.
2.В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны: название учебного заведения; название кафедры (на которой читается дисциплина); номер контрольной работы по указанной дисциплине; номер варианта – последняя цифра номера студента в списке группы (или последняя цифра в номере зачётки); номер учебной группы; ФИО студента, здесь же следует указать номер телефона студента. Работа должна быть зарегистрирована в деканате, на обложке тетради должна быть печать и дата регистрации.
3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не засчитываются.
4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5.Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
6.Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7.После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать
вкороткий срок.
Вслучае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
2
Вариант № 0
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
5 |
2 |
||||
1. Найти произведение матриц |
|
5 |
3 |
1 |
|
и |
|
2 |
7 |
1 |
|
A |
|
B |
. |
||||||||
|
|
2 1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
2. Вычислить матричный многочлен f A 3A2 2A 5Е, где |
1 |
7 |
|
|
A |
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
||
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
|
4x 7 y 3z 10, |
4x |
3x |
|
2x |
|
x |
|
8, |
|
|
2x 9 y z 8, |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
а) |
б) 3x1 2x2 x3 3x4 7, |
|||||||||
|
|
|
|
x2 5x4 |
6. |
|
|
|||
x 6 y 3z 3. |
2x1 |
|
|
|||||||
4. |
Показать, что векторы p {1; |
3; 0}, q { 2; 1; 1}, |
r |
{ 0; 1; 2} образуют базис и найти |
||||||||||||||||||
|
разложение вектора x { 6; 12; |
|
1} по этому базису. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли векторы |
|
c |
|
2a b |
и |
c |
2 |
6a 3b |
построенные |
по векторам |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 1; 4; 2 и b 3; 2; 6 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
, если А 4;0;4 , B 1;6;7 ,С 1;10;9 . |
|
|
|||||||||||||||
AB |
AC |
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
p |
4q, b 2 p q, |
p |
q |
2, p, q 3. |
|
|
|||||||||||||
|
Компланарны ли векторы a 3; 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
2 , b 2; 0; 1 , c 2; |
2; 1 ? |
|
|
||||||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 9; 2;1 , b 1;0; 5 , c 6; 3; 1 . |
Найти |
|
произведения |
||||||||||||||||
|
a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10.Даны вершины треугольника: A(1; 4) , B( 15; 8) , C( 8;16) . Найдите: а) длину стороны BC ;
б) уравнение стороны BC ;
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника ABC ;
е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .
11.ДаныА1 14;4;5 , А2 5; 3;2 , А3 2; 6; 3 , А4 2;2; 1 вершины тетраэдра. Требуется а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;
д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .
12. Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: x2 2x 12 y 13 0 .
3
|
Вариант № 1 |
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
1 |
1 5 |
3 |
||||
1. Найти произведение матриц A |
3 |
0 |
5 |
и B |
2 |
3 |
9 |
. |
|
4 |
1 |
|
|
0 |
4 |
7 |
|
|
6 |
|
|
|||||
2. Вычислить матричный многочлен |
f A A2 3A 7Е , где |
2 |
5 |
|
|
A |
|
|
. |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
x 2 y z 5, |
2x1 3x2 x3 6x4 1, |
|||||||||
|
2x 3y 3z 1, |
|
|
3x2 |
4x3 5x4 1, |
|||||
а) |
б) 2x1 |
|||||||||
|
y 5z 9. |
2x1 3x2 2x3 7x4 |
3, |
|||||||
|
2x |
3x |
2 |
7x |
3 |
4x |
4 |
3. |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
4. |
Показать, |
что векторы p {2; 1; 1}, |
q {0; 3; 2}, |
|
r |
{1; 1; 1} |
образуют базис и найти |
||||||||||||||
|
разложение вектора x {1; 4; 4} по этому базису. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли |
векторы c 2a 4b |
и c |
3b a |
построенные |
по векторам |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a 1; 2;3 и b 3; 0; 1 ? |
, если A 1; 2;3 , B 0; 1;2 , C 3; 4;5 . |
|||||||||||||||||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
|||||||||||||||||
AB |
AC |
||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
a p 2q, b 3 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q, |
|
p |
|
1, |
|
q |
|
|
2, p |
, q 6 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
Компланарны ли векторы a 2;3;1 , b 1; 0; 1 , c |
2; 2; 2 ? |
|
|
|||||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 2; 4;1 , b 1; 3;1 , c 2; 5; 2 . |
Найти |
произведения |
||||||||||||||||
|
a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. Даны вершины треугольника: A(2;1) , B( 14; 11) , C( 7;13) . Найдите: |
|
||||||||||||||||||||
|
а) длину стороны BC ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
уравнение стороны BC ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; |
|
|||||||||||||||||||
|
г) |
длину высоты, проведенной из вершины A ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
д) |
площадь треугольника ABC ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
е) |
уравнение медианы, проведенной из вершины A . |
|
|
|
||||||||||||||||
11. Даны А1 1;3;6 , А2 2; 2;1 , А3 1; 0; 1 , |
А4 4; 6; 3 вершины тетраэдра. Требуется: |
||||||||||||||||||||
|
а) |
составить уравнение грани А1 А2 А3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
б) |
найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 |
и гранью А1 А2 А3 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
г) |
составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
д) |
найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
е) |
составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 . |
|
||||||||||||||||||
12. Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 7x2 28x 24 y 4 0 .
4
Вариант № 2
|
|
7 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
7 |
5 |
|
1. Найти произведение матриц |
|
3 |
4 |
|
|
и |
|
2 |
0 |
|
|
A |
3 |
B |
1 . |
||||||||
|
|
1 5 |
9 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Вычислить матричный многочлен |
f A A2 4A 2Е, где |
1 |
3 |
|
|
A |
|
|
. |
||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
|
|
2 y 5z 12, |
3x |
3x |
|
16x |
7x |
|
8, |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||
а) |
|
|
x1 |
x2 5x3 2x4 3, |
||||||
2x y 3z 7, |
б) |
|
2x2 |
8x3 4x4 5, |
||||||
|
x y z 4. |
3x1 |
||||||||
|
|
|
4x2 |
22x3 |
8x4 |
13. |
||||
|
|
|
3x1 |
|||||||
4. |
Показать, |
что векторы p {4; 1; 1}, q {2; 0; 3}, |
r |
{ 1; 2; 1} |
образуют базис и найти |
||||||||||||
|
разложение вектора x { 9; 5; 5} по этому базису. |
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли |
векторы c a 2b и |
c |
2 |
3a b |
построенные |
по векторам |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 1;0;1 и b 2;3;5 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
, если A 0; 3;6 , B 12; 3; 3 , C 9; 3; 6 . |
||||||||||||
AB |
AC |
||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b |
: |
|||||||||||||||
|
|
|
a 3 p q, b p 2q, p |
4, q 1, p |
, q 4 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
Компланарны ли векторы a 3; 2; 1 , b 2; 3; 4 , c 3;1; 1 ? |
|
|
||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 1;3; 1 , b 1; 4; 2, c 2; 3;0 . |
Найти |
произведения |
||||||||||||
|
a b; a b , |
a,b, c и дать их геометрический смысл. |
|
|
|
||||||||||||
10.Даны вершины треугольника: A(3;3) , B( 13; 9) , C( 6;15) . Найдите: а) длину стороны BC ;
б) уравнение стороны BC ;
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника ABC ;
е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .
11.Даны А1 4;2;6 , А2 2; 3;0 , А3 10;5;8 , А4 5;2; 4 вершины тетраэдра. Требуется: а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;
д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .
12. Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 25x2 16 y2 50x 96 y 231 0 .
5
|
|
Вариант № 3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
0 |
7 |
|
|
|
1 |
7 |
5 |
|
1. Найти произведение матриц |
|
1 |
1 |
3 |
|
и |
|
2 |
0 |
|
|
A |
|
B |
1 . |
||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
2. Вычислить матричный многочлен |
f A A2 5A 8Е, где |
7 |
1 |
||
A |
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
||
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
3x y 3z 10, |
x1 |
x2 x4 2x5 |
7, |
|
|
||||||
а) |
2 y z 4, |
б) x |
2x |
2 |
x |
3 |
2x |
4 |
x |
5 |
13, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
2x y 3z 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 3x2 x4 7x5 28. |
|||||||||||
4. |
Показать, |
что векторы p { 2; 0; 1}, q {1; 3; 1}, |
r |
{0; 4; 1} |
образуют базис и найти |
|||||||||||||
|
разложение вектора x { 5; 5; 5} по этому базису. |
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли |
векторы c 5a 3b |
и c |
2 |
2a b |
построенные |
по векторам |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 2; 4;1 и b 1; 2; 7 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
, если A 3;3; 1 , B 5;5; 2 , C 4;1;1 . |
|||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b |
: |
||||||||||||||||
|
|
|
a p 3q, b p 2q, p |
1 5, q 1, p |
, q 2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Компланарны ли векторы a 1; 5; 2 , b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
|
1; 1; 1 , c 1; 1; 1 ? |
|
|||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 3;7;0 , b 1; 5; 3 , c 1; 5; 2 . |
Найти |
произведения |
|||||||||||||
a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.
10.Даны вершины треугольника: A(4; 1) , B( 12; 13) , C( 5;11) . Найдите: а) длину стороны BC ;
б) уравнение стороны BC ;
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника ABC ;
е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .
11.Даны А1 7;2; 4 , А2 7; 1; 2 , А3 3;3;1 , А4 4; 2;1 вершины тетраэдра.
Требуется:
а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;
д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .
12. Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 5x2 20x 12 y 4 0 .
6
Вариант № 4
5 |
0 |
1 |
1 |
6 |
2 |
||||
1. Найти произведение матриц A |
1 |
7 |
1 |
и |
B |
3 |
4 |
5 |
. |
|
3 |
5 |
2 |
|
|
1 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
2. Вычислить матричный многочлен |
f A 3 A2 2 A 7Е, где |
|
3 |
1 |
|
A |
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
|
x |
2z 5, |
|
|
|
|
3x1 5x2 x3 4x4 2, |
|
|
|
||||||||||||
|
а) 2x 2 y 5z 10, |
|
|
б) 4x1 4x2 x3 |
3x4 5, |
|
|
|
||||||||||||||
|
3x 2 y 2z 1. |
|
|
|
|
|
7x2 |
4x3 6x4 3. |
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
|
|
|
5x1 |
|
|
|
||||||||||||||
Показать, что векторы |
p {5; 1; 0}, |
q { 2; 1; 3}, |
r |
{1; 0; 1} |
образуют базис и найти |
|||||||||||||||||
|
разложение вектора x {13; 2; 7} по этому базису. |
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли векторы |
c |
|
4a 3b |
|
и |
c |
8a b |
построенные |
по векторам |
||||||||||||
|
a 1; 2; 3 и b 2; 1; 1 ? |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, если A 0;0;4 , B 3; 6; 1 , C 5; 10; 1 . |
||||||||||||||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
||||||||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b |
: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 6 . |
|
|
|
a |
3 p 2q, b p 5q, |
p |
|
4, |
q |
1 2, p, q |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Компланарны ли векторы a 1; 1; 3 , b 3; 2;1 , c 2; 3; 4 ? |
|
||||||||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 1; 7; 2 , b 2; 3; 1 , c 0; 4; 2 . |
Найти |
произведения |
|||||||||||||||||
a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.
10.Даны вершины треугольника: A(5;0) , B( 11; 12) , C( 4;12) . Найдите: а) длину стороны BC ;
б) уравнение стороны BC ;
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника ABC ;
е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .
11.Даны А1 2;1; 4 , А2 1;5; 2 , А3 7; 3; 2 , А4 6; 3;6 вершины тетраэдра. Требуется: а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;
д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 ;
12.Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 9 x2 16 y 4 y2 52 0 .
7
|
|
|
Вариант № 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
1 |
3 |
3 |
|
|
|
|||
1. |
Найти произведение матриц |
|
3 |
1 |
2 |
|
и |
B |
|
4 |
0 |
1 . |
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 1 |
3 |
|
|
|
|
1 2 |
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Вычислить матричный многочлен f A 2A2 5A 4Е, где |
|
1 |
4 |
|
|||||||||||
A |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:
2x y 6z 15, |
x1 |
x2 |
2x3 |
3x4 1, |
||||
а) 3x y z 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x1 |
x2 |
3x3 2x4 4, |
||||||
|
|
x1 2x2 x3 4x4 1, |
||||||
x |
3z 7. |
x |
x |
2 |
4x |
x |
4 |
1. |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||
4. |
Показать, |
что векторы |
p { 0; 1; 1}, |
q { 2; 0; 1}, |
r |
{3; 1; 0} образуют базис и найти |
|||||||||||||||||
|
разложение вектора x { 19; 1; 7} по этому базису. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Коллинеарны ли векторы |
|
c |
2a b |
|
и |
c |
2 |
3a |
2b |
построенные |
по векторам |
|||||||||||
|
a 3; 5; 4 и b 5; 9; 7 ? |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, если A 3; 7; 5 , B 0; 1; 2 , |
|
|
||||||||||||||
6. |
Найти косинус угла между |
|
и |
|
C 2; 3; 0 . |
||||||||||||||||||
AB |
AC |
||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 . |
|
|
|
|
a |
p 2q, b 2 p q, |
p |
|
2, |
q |
3, |
p, q |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Компланарны ли векторы a 3; 3; 1 , b 1; 2;1 , c 1; 1; 1 ? |
|
|
||||||||||||||||||||
9. |
Даны |
векторы |
a 5;1; 2 , b 3; 1;3 , c 1; 5; 4 . |
Найти |
|
произведения |
|||||||||||||||||
|
a b; a b , |
a,b, c и дать их геометрический смысл. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10.Даны вершины треугольника: A(3;1) , B( 13; 11) , C( 6;13) . Найдите: а) длину стороны BC ;
б) уравнение стороны BC ;
в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;
д) площадь треугольника ABC ;
е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .
11. Даны А1 1; 5;2 , А2 6;0; 3 , А3 3;6; 3 , А4 10;6;7 вершины тетраэдра. Требуется а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;
в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;
д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .
12.Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 25x2 4 y2 50x 8 y 79 0 .
8