Методические указания к выполнению контрольной работы №3 «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема 12.1 Случайные события.
Общие указания.
1. Решение задач этой темы основано на простейшей модели теории вероятностей для вычисления вероятностей, в которой , называют «Классической схемой», а определение вероятности – формулой классической вероятности. В этой модели основным понятием является понятие элементарный исход (элементарное событие).
Например, в задаче 12.1.1 элементарный исход – извлеченная перчатка – черная (или бежевого цвета). Для вычисления вероятности по классической формуле применяют следующий алгоритм:
Уяснить, в чем состоит эксперимент.
2. Установить, являются ли исходы равновозможными и несовместными.
3. Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти (например, А – извлечена черная пара).
4. Определить пространство элементарных
исходов 
и число его элементов - 
.
5.
Подсчитать число исходов, благоприятствующих
событию – N(А) (для
события А).
6. Найти вероятность события
А (или В, С,…), согласно формуле
классического определения вероятности:
P(A)=
2. Кроме классического определения вероятности, при решении задач применяются основные формулы теории вероятностей теоремы сложения и умножения. Следует помнить, что при использовании формул сложения вероятностей нужно проверять несовместность (или совместность) событий, а при использовании формул умножения – независимость (или зависимость) событий. С этим связан правильный выбор формул, так как вычисление вероятностей искомых событий основано на составлении формул, выражающие эти события через элементарные события с помощью операций сложения, умножения и отрицания (противоположных событий), а затем применяются основные формулы.
Задача 12.1.1.
В ящике находятся (m+3) одинаковых пар перчаток черного цвета и (n+2) одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.
Решение:
Пусть А – случайное событие, что
извлечена черная пара перчаток – левая
и правая; В – извлечена бежевая пара
(левая и правая). Тогда событие С=А+В
– извлеченные из ящика две перчатки
одного цвета и образуют пару. А и В
– несовместные события. Тогда
Р(С)=Р(А)+Р(В) – формула сложения для
несовместных событий. Вероятности Р(А)
и Р(В) вычислим по формуле классического
определения вероятности:
1) 
, где
- число всех исходов (сколькими способами
можно извлечь две перчатки из всего
количества перчаток). 
- число благоприятных исходов (сколькими
способами можно извлечь из черных
перчаток две, образующих пару). Для
подсчета
и
применяются формулы комбинаторики. В
данном случае – сочетание 
По условию задачи, в ящике (m+3)
пар черных перчаток, (n+2)
пар бежевых. Зададим значения параметров
: m=5, n=2.
Тогда в ящике m+3=5+3=8
пар черных перчаток и n+2=2+2=4
пар бежевых. Значит, всего перчаток
.
Отсюда, 
– всего способов извлечь 2 перчатки
из 24.
Найдем N(A).
Так как левых 8 перчаток и правых 8, то
по принципу умножения из комбинаторики
.
По классическому определению:
2) 
, где
– тоже, что и для события А 
.
(Четыре способа выбрать левую
бежевую и 4 способа выбрать правую
бежевую и по принципу умножения 
способов выбора левой и правой
перчаток).
Тогда Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,232+0,058=0,29
Задача 12.1.2.
В урне находится три шара белого цвета и (n+1) шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется: а) Ровно 2 белых шара; б) Не менее 2 белых шаров.