Решение типового варианта (задания 1-9).

1)Hайти пределы функций, пользуясь правилом Лопиталя (для случаев, когда оно применимо).

1. при ;

2. ;

3. ;

Найдём пределы, используя правило Лопиталя, которое применимо при неопределённостях вида и .Это условие выполняется для 2) и 3) примеров и для 1) примера при и .

1. Пусть :

Пусть :

2)

3)

.

2)Найти производные функций, заданных в явном виде .

а)

Запишем у(х) в виде, удобном для дифференцирования;

б)

Используем формулу для производной произведения функций:

в) .

Используем формулу для производной частного двух функций (константа 4 в знаменателе при этом выносится из под дифференцирования ) :

г) ,

перепишем 2-е слагаемое в виде, удобном для дифференцирования, после чего для него используем формулу для производной произведения двух функций:

д)

Дифференцируем по правилу производной сложной функции. Введем обозначения, которые каждую фигурирующую в выражении функцию сводят к простейшей :

З

аписываем формулу дифференцирования сложной функции в буквенном виде, а затем расписываем производные и переходим к первоначальной производной по х:

e) .

Логарифмируем обе части равенства, после чего дифференцируем полученное равенство:

Отсюда

3)Найти первую производную неявной функции и функции, заданной параметрически.

а) ; б)

Решение.

a) Считая функцией от , дифференцируем обе части равенства по :

б) Используем формулу (7) для при параметрическом дифференцировании:

.

4).Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

Найдем критические точки из условия равенства нулю 1-ой производной :

.

Так как , то эту критическую точку не учитываем. Чтобы выяснить, имеет ли функция экстремум в точке , найдём :

,

т.е. в точке функция имеет максимум. Находим значения функции в точках :

Т.е. минимальное значение функция принимает на левом конце отрезка, а максимальное внутри отрезка при .

5).Сделать разложение функции по формуле Тейлора при указанном значении :

.

Находим производные и подметив закономерность, запишем выражение для n-ой производной

.

Легко заметить ,что n-я производная будет равна

.

Умножив числитель и знаменатель на (-1)(-2), запишется в виде:

Используя формулу (8) получим:

6. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: Найдем сначала

,

подставляя координату точки , получаем

.

Подставляя в формулу (2), находим уравнение касательной

или .

Подставляя в формулу (3), выводим уравнение нормали

или .

Тангенс угла, образованного касательной с осью абсцисс, равен , откуда .

Ответ: уравнение касательной ; нормали ; угол .

7. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1). Область определения функции.

Очевидно, что эта функция определена на всей числовой прямой, кроме точек “ ” и “ ”, т.к. в этих точках знаменатель равняется нулю и, следовательно, функция не существует, а прямые и – вертикальные асимптоты.

2). Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности, существование точек разрыва и проверка наличия наклонных асимптот.

Проверим сначала как ведет себя функция при приближении к бесконечности влево и вправо.

Таким образом, при функция стремится к 1, т.е. – горизонтальная асимптота.

В окрестности точек разрыва поведение функции определяется следующим образом:

Т.е. при приближении к точкам разрыва слева функция бесконечно убывает, справа – бесконечно возрастает.

Наличие наклонной асимптоты определим, рассмотрев равенство:

.

Наклонных асимптот нет.

3). Точки пересечения с осями координат.

Здесь необходимо рассмотреть две ситуации: найти точку пересечения с осью Ох и с осью Оу. Признаком пересечения с осью Ох является нулевое значение функции, т.е. необходимо решить уравнение:

Это уравнение не имеет корней, следовательно, точек пересечения с осью Ох у графика данной функции нет.

Признаком пересечения с осью Оу является значение х = 0. При этом

,

т.е. – точка пересечения графика функции с осью Оу.

4). Определение точек экстремума и промежутков возрастания и убывания.

Для исследования этого вопроса определим первую производную:

.

Приравняем к нулю значение первой производной.

.

Дробь равна нулю, когда равен нулю ее числитель, т.е.

.

Определим промежутки возрастания и убывания функции.

Таблица 5

Т.о., функция имеет одну точку экстремума и в двух точках не существует.

Таким образом, функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках и .

Как видно из таблицы 5, при и при , т.е. при функция имеет максимум.

5). Точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости.

Эта характеристика поведения функции определяется с помощью второй производной. Определим сначала наличие точек перегиба. Вторая производная функции равна

.

Таблица 6

При и функция вогнута; при и функция выпуклая.

6). Построение графика функции.

Используя в пунктах найденные величины, построим схематически график функции:

Рис.5