Приложения производной к задачам геометрии.

Если кривая задана уравнением , то угол , образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси , находится из уравнения

. (1)

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

, (2)

где есть значение производной при . Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Уравнение нормали имеет вид

. (3)

Пример 1: Составить уравнения касательной и нормали к кривой , проведенной в точке . Найти угол, образованный касательной с осью абсцисс.

Решение: Найдем сначала

,

подставляя координату точки получаем

.

Из (1) получаем: ; тогда . Подставляя в формулу (2) находим уравнение касательной

или .

Аналогично из формулы (3) выводим уравнение нормали

.

Ответ: уравнение касательной ; нормали ;угол с осью абсцисс .

Полное исследование функций и построение графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема:

А) найти область определения, точки разрыва; исследовать поведение функции вблизи точек разрыва (найти пределы функции слева и справа в этих точках). Указать вертикальные асимптоты.

Б) определить четность или нечетность функции и сделать вывод о наличии симметрии. Если , то функция четная, симметрична относительно оси OY; при функция нечетная, симметрична относительно начала координат; а если – функция общего вида.

В) найти точки пересечения функции с осями координат OY и OX (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции. Границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых функция равна нулю(нули функции) или не существует и границами области определения этой функции. В интервалах, где график функции расположен над осью OX, а где – под этой осью.

Г) найти первую производную функции, определить ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где функция возрастает, а где убывает. Сделать заключение о наличие экстремумов (точек, где функция и производная существуют и при переходе через которые меняет знак. Если меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то минимум). Найти значения функции в точках экстремумов.

Д) найти вторую производную , ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где < 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.

Е) найти наклонные (горизонтальные) асимптоты, уравнения которых имеют вид ; где

.

При график функции будет иметь две наклонные асимптоты, причем каждому значению x при и могут соответствовать и два значения b.

Ж) найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: А) область определения ; функция непрерывна в области определения; – точка разрыва, т.к. ; . Тогда – вертикальная асимптота.

Б)

т.е. y(x)– функция общего вида.

В) Находим точки пересечения графика с осью OY: полагаем x=0; тогда y(0)=–1, т.е. график функции пересекает ось в точке (0;-1). Нули функции (точки пересечения графика с осью OX): полагаем y=0; тогда

.

Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, значит нулей не существует. Тогда границей интервалов знакопостоянства является точка x=1, где функция не существует.

Знак функции в каждом из интервалов определяем методом частных значений:

Из схемы видно, что в интервале график функции расположен под осью OX, а в интервале –над осью OX.

Г) Выясняем наличие критических точек.

.

Критические точки (где или не существует) находим из равенств и . Получаем: x₁=1, x₂=0, x₃=2. Составим вспомогательную таблицу

Таблица 1

(В первой строке записываются критические точки и интервалы, на которые делят эти точки ось OX; во второй строке указываются значения производной в критических точках и знаки на интервалах. Знаки определяются методом частных значений. В третьей строке указываются значения функции y(x) в критических точках и показывается поведение функции – возрастание или убывание на соответствующих интервалах числовой оси. Дополнительно обозначается наличие минимума или максимума.

Д) Находим интервалы выпуклости и вогнутости фукнции.

; строим таблицу как в пункте Г); только во второй строке записываем знаки , а в третьей указываем вид выпуклости. Т.к. ; то критическая точка одна x=1.

Таблица 2

Точка x=1 является точкой перегиба; т.к.

Е) Находим наклонные и горизонтальные асимптоты

Тогда y=x – наклонная асимптота.

Ж) По полученным данным строим график функции

Рис. 2