Каркасы в ориентированных графах

Число каркасов в ориентированном графе определяется с помощью аналогичной матричной теоремы о деревьях в орграфе. Пусть   — орграф с матрицей смежности  . Определим диагональную матрицу , у которой   -й элемент равен полустепени исхода   вершины  . Затем положим  . Аналогично определяется матрица  .

Матричная теорема о деревьях для орграфов. Все алгебраические дополнения   -й строки матрицы   равны друг другу, и их общее значение есть число каркасов орграфа  , входящих в вершину  . Двойственным образом общее значение алгебраических дополнений   -го столбца матрицы   равно числу каркасов, выходящих из вершины   .

Пример. Для графа   (см. рис.11.5) матрицы   и   имеют вид:

Используя их, убеждаемся сразу, исходя из первой строки матрицы   и из первого столбца матрицы  , что орграф   имеет в точности четыре каркаса, выходящих из вершины  , и два каркаса, входящих в эту вершину.

Рис. 11.5. 

51. Надежность сети относительно одного источника и многих стоков

Для оценки работоспособности КС существенно знать соединения некоторого определенного узла со всеми другими узлами сети. Вероятность наступления этих событий – вероятность связанности относительно 1 источника и многих стоков – R.

Топология сети отражается в соответствующем графе. Узел источник обозначается через о. Все остальные узлы через 1,2,3…

Не содержит циклов подграф графа G, который содержит ровно по 1 пути от узла источника к любому другому узлу, называется направленным деревом с корнем в узле 0. В общем случае, граф G может содержать несколько различных направлений деревьев, которые могут пересекаться и имеют общий корень 0.

Пусть количество деревьев равно m. Через Ti обозначим случайное событие, состоящее в том, что i-е направления дерева не откажет. Это событие имеет место, тогда и только тогда, когда все входящие в i-направление дерева ребра и узлы работоспособны.

То есть получаем выражение для надежности относительно 1 источника и множества стоков

R = P (U Ti); i=1..

Это вероятность того, что по крайней мере хотя бы 1 направление дерева работоспособно.

Для оценки величины R можно использовать

P (T1 U T2) = P(T1)+P(T2)-P(T1ПT2)

Для n деревьев

Это число растет с увеличением размерности исследуемых сетей и растет быстро, что практические применение этой формулы приведет к непреодолимым вычислительным трудностям. Многие члены в правой части R взаимно уничтожаются, поэтому используют алгоритм, позволяющий исключить взаимное уничтожение членов от правой части формулы R.