4. Поняття фкз. Вл-ті границі.

Вл-ті непер ф-ій

М – мн-на к. чисел.

Нехай ми маємо деяке правило або закон: zМ ставимо у відповідність одне чи декілька к.ч. W. Це правило – функція залежності, позначається

W=f(z) (1)

Якщо аргументу z ставиться у відповідність тільки одне значення W, то ф-я однозначна, інакше – багатозначна.

Мн-а усіх значень ф-ї N

Мн-а М – область визначення ф-ї.

Якщо враховувати, що z=x+iy, x,yR, то

W=f(z)=U(x,y)+iV(x,y), де U,V R

Нехай маємо W=f(z) і область її визначення є обл. М. Виберемо довільну т. z₀=x₀+iy₀ М. Позначимо W₀=U₀+iV₀. Будемо це число називати границею функції, якщо:

Вл-ві границі:

Якщо f(z) і g(z) в т. z₀ мають ск. гр., то

Аналогічно до ф-ї 1-єї дійсної змінної можна дати еквівалентне попередньому означення границі функції багатьох зм.

Озн: Будемо говорити, що W=f(z) в т. z₀=x₀+iy₀ має границю W₀=U₀+iV₀, якщо >0 >0:

|f(z)-W₀|< (5) як тільки 0<|z-z₀|<

Озн: W=f(z) неперервна в т. z₀М, якщо

Озн: Якщо f(z) неп. в кожній т. М, то вона називається неперервною в цій області.

Вл-ві неперервних ф-й:

1) Якщо f(z) замкн. в , то вона обмежена за модулем в

2) Якщо f(z) непер. в замкн. обл.. , то вона в цій обл. буде рівномірно-неперервною, тобто >0 >0, то z₁ і z₂ М і таких, що |z₁-z₂|< виконується нерівність |f(z₁)-f(z₂)|<

3) Якщо f(z) неп. в замкн. обл. , то |f(z)| досягає макс. і мін.

4) Якщо однозначна f(z) неп. в М і має мн-у значень , то  - це теж область і  непер. обернена ф-я z=g(y), яка утворює взаємно однозначне відображення.

Озн: Якщо  скінч. , то f(z) диференційовна в т. z₀, а значення цієї границі – похідна в т. z₀.

Озн: Якщо f(z) диференційовна в усіх т. області, то вона аналітична (регулярна)ї

Вл-ті:

1) (cf)’=cf’ 2) (fg)’=f’g’

3) (fg)’=f’g+fg’ 4)

5. Умови Коші-Рімана диференційованості ф-ї в точці

Теорема: Нехай f(z)=U(x,y)+iV(x,y) визначена і неп. в деякому околі т. z₀=x₀+iy₀, а U(x,y) і V(x,y) диф-ні в т. (x₀,y₀). Для того, щоб f(z) була диф-на в т. z₀ необх. і дост. щоб в цій т. виконувалось:

- умови К-Р.

Дов: Необхідність: Припустимо, що f(z) диф-на в т. z₀, тобто якщо z=z₀+h (h=s+it), то

Достатність: Припустимо, що в т z₀ вик. умови (1). Т.д., що

За умовами теореми ф-ї U та V диф-ні в т. (x₀,y₀), тобто згідно з означенням

де ,→0 як тільки h→0 (s,t→0 одночасно)

Розглянемо

Цю рівність можна переписати

Розглянемо

Таким чином, другий доданок справа в (7) є добутком неск. малої і обмеженої – неск. мала. Тому

Заув: Якщо фкз диф-на, то для обчислення похідної можна застосовувати звичайну таблицю похідних.

Якщо f(z) аналітична в деякій області G, то для всіх т. цієї обл.

(9),(10) – р-ня Лапласа,  - оператор Лапласа

з (9),(10)=>р-ня Лапласа задовольняє і сама фкз

6. Елементарні фкз

Користуючись м-дом мат. індукції можна довести, що ф-я аналітична

Ця ф-я аналітична у всій компл. пл.-ні окрім z=0

5)

6) , a=α+iβ,

Якщо a не прінадл. N, то ця функція аналітична в усій компл. Площині за винятком точок z=0.

7. Інтеграл від функції комплексного змінного

Нехай а і в – кінці цієї лінії С.

Нехай в кожній точці цієї лінії визначена функція f(z);

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (1)

а – початок лінії

в – кінець лінії

Розіб’ємо лінію С довільним способом на n частин. – точки поділу.

Як і для кріволін. інтервала, в кожній частині лінії С виберемо довільн. способом точку і побудуємо інтегральну суму:

Озн.

Якщо існує скінчена границя і вона не залежить від способу розбиття ліній С на частини, а також від способу за яким обирається точки , то говорять, що функція f(z) інтегрована по лінії С, а значення границі:

наз. інтегралом від f(z) по лінії С.

Аналогічно вводяться поняття інтеграла у випадку замкнутої лінії С, при цьому фіксується тільки напрям обходу цієї лінії.

З (1),(3),(4) отримаємо:

Якщо (8) спрямувати λ→0, тобто max{|Δx_k|}→0 і max{|Δy_k|}→0 тоді з (8), якщо існує інтегр. (7), отримаємо:

Припустимо, що відоме парам-не рівняння z=z(t) α≤t≤β,

a=x(α)+iy(α) b= x(β)+iy(β)

Тоді з (9) маємо:

Влас-ті інтегралів від функції комп. змінних аналогічні влас-тям кринолін. інтегралів

1)

2)

3)

4)