1. Поняття компл числа. Операції Над компл. Числами

Компл. число – упорядкована пара 2х дійсних чисел z : (a,b) a,b є R

a=ReZ b=ImZ z=a+bi

i – уявна одиниця і²=-1

 - аргумент комп. числа argZ

Озн: Будемо говорити шо 2 комп.числа Z_k=a_k+ib_k дорівнюють один одному якшо

a₁=a₂ i b₁=b₂

Комплексне число будемо називати спряженим по відношенню к z=a+bi якшо =a-bi

Сумою 2х компл чисел Z_k=x_k+iy_k k=1,2 будемо називати таке компл число: Z₃=x₃+iy₃ , таке шо x₃=x₁+x₂ i y₃=y₁₊y₂

Будемо говорити шо комп число z₃ дорівнює різниці комп чисел z₁ i z₂ (z₃=z₁-z₂) якшо z₁=z₃+z₂

Число z₃ будем называть добутком комп чисел z₁ i z₂ (z₃=z₁*z₂) якшо:

x₃=x₁x₂ - y₁y₂

y₃=x₁y₂ + y₁x₂

Число z₃ будем называть відношенням комп чисел z₁ i z₂ (z₃=z₁/z_{2 ,} z₂0) якшо

z₁=z₃z₂

z₃=z₁/z₂ =

ф орма комп числа виду z=x+iy називається

алгебраїчною

=argZ

r =|z|

z=x+iy= r cos + ir sin + r(cos + isin) (1)

згадаємо ф-лу Ейлера (згадали???) :

(1) i (2) - наз-ся трЫгонометрЫчнЫмЫ формами

Комп число z₃=r₃(cos₃ + isin₃) будемо називати добутком 2х комп.ч. z_k=r_k(cos_k + isin_k) k=1,2 якШо r₃=r₁r₁ i ₃=₁₂

2. Інтерпретація Рімана КЧ. Поняття поширеної комплексної площини.

Розг 3-вим простір і введемо в ньому декартову систему координат.

Розг сферу S, радіус її = ½, а центр буде в т.(0,0,1/2). т.Р(0,0,1)-полюс.

Рівн. сфери: ²+²+(-1/2)²=1/4 або

²+²+²-=0 (1)

Площину O (=0) буд вважати комплексною площиною z, де Re z=x, Im z=y На коорд площині =0 виберемо КЧ z=x+iy, якому відпов. т. A(x,y,0). Через т А і т Р проведемо пряму, яка перетинає сферу S в точці М(,,).

Сферу S будемо називати сферою Рімана.

Розг стереографічну проекцію Кплошини на сферу Р. Кожній точці КП ставиться у взаємноодназначну відповідність відповідна точка сфери Рімана з виколотим(?) полюсом Р.

Побудуємо рівн ,що зв’язує коорд т М сфери Рімана і т А КП =0. Е(,0,0), N(0,,0), К(x,,0)

POAMBA PO/MB=OA/BA и т.д.

Тобто зв’язок КЧ зі сферою Рімана:

Введемо ідеальне КЧ “” (z=+i). Будемо вважати, що полюс Р став у відповідність . КП , якщо до неї додати , назив поширеною комплексною площиною.

Озн. Околом т z= будемо називати сукупність точок поширеної КП, кожна з яких задовольняє умові |z|> (>0)

3. Послідовність кч. Поняття границі.

Розг упорядковану мн-ну кч {Z_n}. Ми маємо справу з 2 послідовностями {X_n}і {Y_n}.

Озн. Буд говорити, що деяке КЧ А є границя послід-ті КЧ Z_n, якщо >0 N: n>N(1) викон нерівність |Z_n–A|< (2).

Озн. А-границя послідовності,якщо

lim X_n=Re A, lim Y_n=Im A, при n.

Для мн-ни КЧ викон лема Больцано-Веєрштраса, що з обмеж посл КЧ можна вилучити збіжну підпослідовнісь.

Озн. Розг мн-ну КЧ G. Цю мн-ну будемо наз-ти областю, якщо виконуються 2 умови:

1. відкритість: якщо т z₀G, то і достатньо малий окіл ціеї точки теж належить G.

2. зв’язність: 2 точки цієї мн-ни можна з’єднати ламаною, яка складається тільки з точок цієї мн-ни.

Озн. Т z будемо наз-ти граничною точкою обл G, якщо в  околі цієї точки знаходиться як точки, що належать обл G, так і ті що не належать цій області. Сукупність усіх гр точок складає границю області.