3. Линейные кинематические характеристики движения материальной точки

Траекторией тела называется линия, описываемая в пространстве движущейся материальной точкой. Путь – длина участка траектории от начального до конечного перемещения материальной точки. Радиус-вектор – вектор, соединяющий начало координат и точку пространства. Перемещение – вектор , соединяющий начальную и конечную точки участка траектории, пройденные за время . Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту и направление движения в данный момент времени. Средняя скорость определяется как . Средняя путевая скорость равна отношению пути, пройденному телом за промежуток времени к этому промежутку. . Мгновенная скорость (вектор) – первая производная от радиус-вектора движущейся точки. . Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории, средняя – вдоль секущей. Мгновенная путевая скорость (скаляр) – первая производная пути по времени, по величине равна мгновенной скорости

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением. При неравномерном поступательном движении скорость тела изменяется с течением времени. Ускорение (вектор) – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и по направлению. Мгновенное ускорение (вектор) – первая производная скорости по времени. .Равноускоренным называется движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению. Скорость при равноускоренном движении вычисляется как .

Отсюда формула для пути при равноускоренном движении выводится как

Также справедливы формулы , выводимая из уравнений скорости и пути при равноускоренном движении.

Поскольку вектор ускорения при криволинейном движении сориентирован по отношению к скорости под произвольным углом, то разложим его на нормальную и тангенциальную составляющие:

a = a_n + a_ = a_n·n + a_·.    

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Вектор нормального ускорения равен a_n = v²/R·n.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Вектор тангенциального ускорения равен: a= dv/dt

4. Основная задача кинематики

Прямая задача кинематики. Непрерывность Мировая линия (МЛ) означает наличие в любой момент времени не только определенного значения координаты частицы, но и ее производной. Исходя из определения производной, имеем:

x' = lim x/t = dx/dt = .    

Величина _x = x' называется проекцией мгновенной скорости частицы на ось OX (в нашем случае - просто скоростью частицы ) и характеризует направление развития процесса (направление движения вдоль оси OX). В общем случае приращение координаты dx за бесконечно малый промежуток времени dt, а, следовательно, и величина мгновенной скорости зависят от времени (см. рис. 1.7). На графике это проявляется в изменении тангенса угла наклона, образуемого касательной к МЛ и осью Ot. 

Аналогично вводится понятие мгновенного ускорения a:

a = a_x = _x' = lim _x/t = d_x/dt.    

Мгновенное ускорение показывает как быстро изменится скорость со временем при бесконечно малом его приращении относительно момента t.

На практике часто используется понятие средней скорости _{x ср} = x/t. Важно отметить, что средняя скорость не является полной характеристикой движения, т.к. ее значение зависит от t. Средняя скорость может быть как положительной, так и отрицательной. 

В отличии от средней скорости, путь s, пройденный частицей или его приращение s за время t могут принимать только положительные значения. Средняя путевая скорость равна:|_{x ср}| = _ср = s/t.

Понятие среднего ускорения вводится с помощью соотношения: 

  a_{x ср} = _x/t.        

Обратная задача кинематики. Рассмотрим как найти график движения (МЛ) по известной зависимости скорости от времени. Из определения скорости найдем величину конечного перемещения частицы x за промежуток времени t:

Следовательно, положение частицы в любой момент времени задается уравнением:

Значение пути s, пройденного частицей за время t = t - t₀, можно найти, исходя из уравнения:

   

Используя полученные выражения и определения средней скорости перемещения v_{x ср} и средней путевой скорости v_ср, найдем выражения для их расчета: