4.6 Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера.

Сила действия однородного магнитного поля на проводник с током прямо пропорциональна силе тока, длине проводника, модулю вектора индукции магнитного поля, синусу угла между вектором индукции магнитного поля и проводником:

F=IBlsina

Эту силу называют силой Ампера.

Единица (A) названа в честь французского физика A. Ampere. Один ампер равен силе тока, который протекает в двух параллельных прямолинейных проводниках, расположенных в вакууме на расстоянии друг от друга в 1 м. При этом он должен вызвать силу между этими проводниками, равную 2 х 10-7 ньютона на 1 м длины. Ампер является единицей измерения силы тока в международной системе единиц.

4.7 Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент контура с током.

При помещении провода с током в магнитное поле действующая на носители тока магнитная сила передается проводу. Получим выражение для магнитной силы, действующей на элементарный отрезок провода длиной dl в магнитном поле с индукцией В.

Обозначим заряд одного носителя q1, концентрацию носителей n , скорость упорядоченного движения носителей u , скорость хаотического движения v. Магнитная сила, действующая на один носитель

F_M=q[v+u,B], ее среднее значение равно (F_M)=q₁[(v)+(u),B]=q₁[(u),B]

Здесь (v)=0, так как все направления скорости хаотического движения равновероятны.

Пусть площадь сечения провода S , тогда объем отрезка провода равен Sdl и общее число носителей nSdl. Суммарная магнитная сила, действующая на элементарный отрезок провода, dF=(F_M)nSdl=q₁[(u),B]nSdl=[j,B]Sdl

Здесь j=q₁n(u) плотность тока.

Величина плотности тока j связана с силой тока I и площадью сечения S: j=I/S . Введем вектор элемента длины проводника dl , сонаправленный с вектором плотности тока j, тогда jSdl=Idl и для магнитной силы, действующей на элемент тока, получаем dF_A=I[dl,B] Это соотношение было получено экспериментально Ампером и называется законом Ампера. Исторически оно было получено раньше, чем выражение для магнитной части силы Лоренца. В действительности, Лоренц получил выражение для магнитной силы, основываясь на законе Ампера.

Для прямого отрезка провода с током I, помещенного в однородное магнитное поле B, сила Ампера равна F_A=ƒI[dl,B]=I[ƒdl,B]=I[l,B]

Здесь вектор l направлен по току (в сторону переноса положительного заряда), а его модуль равен длине провода. Направление амперовой силы определяется так же, как направление магнитной силы для положительного заряда (см. рис. 4.2.3).

Элементарная работа dА, совершаемая силой Ампера dFА при перемещении на dr в магнитном поле элемента проводника dl, равна

δА=(dF_A,dr)=I([dl,B],dr)=I([dr,dl],B)

Здесь мы, подставив выражение для амперовой силы (4.2.2), вынесли скалярную величину – силу тока I и воспользовались известным свойством смешанного произведения векторов: оно не изменяется при циклической перестановке сомножителей. Векторное произведение перемещения и элемента проводника есть вектор площадки, прочерченной проводником при его перемещении (см. рис. 4.2.4):

dS=[dr,dl]

Скалярное произведение вектора площадки и вектора магнитной индукции – это магнитный поток через площадку dS

dФ_M=(B,dS) поэтому для работы получаем δА=IdФ_M

Если проводник, сила тока I в котором поддерживается постоянной, совершает конечное перемещение из положения 1 в положение 2, то работа амперовых сил при таком перемещении

где Фм – магнитный поток через поверхность, прочерченную проводником при рассматриваемом перемещении.

Если в постоянном магнитном поле перемещается замкнутый контур, то поток, прочерченный всеми элементами контура, равен изменению потока пронизывающего контур (так называемого потокосцепления Y). Докажем это.

На рисунке 4.2.5 изображены два последовательных состояния контура С1 и С2. Поверхности S1 и S2, которые ограничивает контур в положениях С1 и С2 и поверхность Sп, прочерченная контуром, составляют замкнутую поверхность. По теореме Остроградского-Гаусса для магнитной индукции суммарный поток через эту замкнутую поверхность равен нулю. Выберем нормали n1 и n2 к поверхностям S1 и S2 при вычислении потокосцеплений Y1 и Y2 в каждом из положений так, чтобы они были согласованы с направлением тока в контуре по правилу правого винта (из конца вектора нормали ток в контуре виден идущим против часовой стрелки). При этом поток наружу из замкнутой поверхности складывается из потока через S1 в направлении n1 (равен Y1), потока через S2 в направлении противоположном n2 (равен -Y2) и потока через прочерченную поверхность Sп (Фм). Таким образом, получаем

, откуда

При выводе этой формулы мы рассмотрели простое перемещение контура, но она оказывается справедливой и при более сложных изменениях состояния контура, например, при вращении и при деформации. В приведенном виде она выполняется для движении не только одиночного контура, но и катушки, состоящей из нескольких витков, в частности, для катушки из N одинаковых витков. В последнем случае потокосцепление равно Y = NFм, где Fм – магнитный поток через один виток.