7. Булевы функции, фиктивные и существенные переменные, полином Жегалкина

Булева функция - функция, аргументы которой, равна как и сама функция, принимают значения из двух элементного множества {0,1}. Уменьшить это множество до одногоэлементного нельзя, так как произойдет вырождение понятия функции. Таким образом булевы функции занимают первую ступень в иерархии функций.

     Определение 1: Переменная x, принимающая значения из {0,1}, называется булевой переменной(логической, двоичной). Двоичные переменные используются в двоичной системе счисления для передачи данных.

     Определение 2: Функция, зависящая от булевых переменных и принимающая значения из {0,1}, называется булевой функцией(двоичной, логической).

Опр. Переменная xi булевой функции F(х1,…,хi-1, хi, хi+1,…,хn ) называется фиктивной если при любых наборах значений переменных х1,…,хi-1, хi, хi+1,…,хn имеет место равенство: F(х1,…,хi-1,0,хi+1,…,хn)=F(х1,…,хi-1,1,хi+1,…,хn). Данные наборы значений переменных называются соседними по переменной xi . Иначе переменная хi называется существенной.

Опр. Полиномом (многочленом) Жегалкина от n переменных называется формула, которую можно записать в виде суммы произведений, содержащей 2ⁿ слагаемых:

G(x₁,…, x_n) = a₀ a₁ x₁ a₂ x_{2 …} a_n x_n a_n+1 x₁

Теорема. Любая функция от n переменных может быть представлена полиномом Жегалкина, и это представление единственно.

Пример Составим полином Жегалкина по таблице истинности для данной булевой функции F=(01010101). Запишем его сначала с неопределёнными коэффициентами :

G(x,y,z)= a₀ a₁x a₂y a₃z a₄xy a₅xz a₆yz a₇xyz . Подставим в него по очереди вместо переменных х, у,z все 8 наборов их значений, каждый раз приравнивая сумму к значению функции F(х, у,z) в соответствующей строке, тем самым получим 8 уравнений, из которых и найдём коэффициенты полинома Жегалкина.

x = 0, y = 0, z = 0: a₀ = 0;

x = 0, y = 0, z = 1: a₀ a₃= 1 a₃= 1;

x = 0, y = 1, z = 0: a₀ a₂= 0 a₂= 0;

x = 0, y = 1, z = 1: a₀ a₂ a₃ a₆= 1 a₆= 0;

x = 1, y = 0, z = 0: a₀ a₁= 0 a₁= 0;

x = 1, y = 0, z = 1: a₀ a₁ a₃ a₅= 1 a₅= 0;

x = 1, y = 1, z = 0: a₀ a₁ a₂ a₄= 0 a₄= 0;

x = 1, y = 1, z = 1: a₀ a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇= 1 a₇= 0.

Т.е.полином Жегалкина для данной функции имеет вид: G(х. у, z) =z (причем, очевидно, переменные х и у для данной функции являются фиктивными).

8. Классы функций

9. Замыкания множеств, замкнутые множества

Пусть имеется некоторый набор К, состоящий из конечного числа булевых функций.

Опр. Суперпозицией функций из набора К называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения следующих операций: 1) можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из набора К; 2) вместо любой переменной можно поставить функцию из набора К.

или уже образованную ранее суперпозицию. Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией. Опр.Система булевых функций f₁ , f₂ ,…, f_n называется функционально полной, если любая булева функция может быть представлена суперпозицией функции данной системы. Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций: 1. К₀ – это класс функций, сохраняющих 0 (т.е. это набор всех тех логических функций, которые на нулевом наборе принимают значение 0); 2. К₁ - это класс функций, сохраняющих единицу ( т.е. это набор всех логических функций, которые на единичном наборе принимают значение 1); 3. Класс К_с - класс самодвойственных функций. Функция f(x₁, x₂,…, x_n) называется самодвойственной, если на противоположных наборах значений переменных она принимает противоположные значения, т.е. самодвойственная функция f(x₁, x₂,…, x_n) удовлетворяет условию : f( , …, ) = (x₁, x₂,…, x_n). 4. К_М - класс монотонных функций. Опишем класс этих функций более подробно. Пусть даны следующие два двоичных набора от n переменных: s₁ = (x₁, x₂,…, x_n) и s₂ = (y₁, y₂,…, y_n).

Будем говорить, что s₁ s₂ ,. если все x_i y_{i .}

Функция f(x₁, x₂,…, x_n) называется монотонной, если для любых двоичных наборов длины n s₁ и s₂ из того, что s₁ s₂, следует, что f(s₁) f(s₂). Разумеется, эти неравенства должны проверяться только на сравнимых наборах. Понятно, что несравнимые наборы - это те, в которых есть некоторые координаты типа (0,1) в одном наборе в и (1,0) в другом на соответствующих местах.

5. К_Л - класс линейных функций, т. е. такие функции, которые представляются полиномом Жегалкина первой степени. Т.е. функция, у которой полином Жегалкина имеет вид , где а_i , b  {0,1}, называется линейной. Опр. Система булевых функций К называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из К снова принадлежит К. Теорема.

Классы функций К₀ ,К₁ ,К_С ,К_М ,К_Л замкнуты.

Принадлежность булевой функции замкнутым классам (1 - 4) проверяется по таблице истинности, а классу (5) – с помощью построения полинома Жегалкина.