ПРЕДИСЛОВИЕ

В данном учебно-методическом пособии изложен краткий курс те­оретической механики, состоящий из трех разделов (статики, кине­матики, динамики), для студентов немашиностроительных специаль­ностей.

В разделе "Статика" даны определения силы, связей, реакции связи, классификация систем сил и уравнение равновесия для каждой из этих систем сил.

В разделе "Кинематика" уделено большое внимание способам за­дания движения точки, определению ее скорости и ускорения при различных способах задания движения. Разобрано сложное движение точки и плоскопараллельное движение твердого тела.

В разделе "Динамика" рассмотрены аксиомы динамики, силы инер­ции. В полном объеме описаны разделы "Работа и мощность", "Энер­гия".

Общие теоремы динамики включают следующие теоремы: теорему об изменении количества движения точки, теорему об изменении кине­тической энергии точки и системы.

Из уравнений динамики рассмотрено уравнение динамики вращаю­щегося тела.

Раздел 1. Статика

Т ем a 1.1 Основные положения статики

1.1.1. Общие сведения

Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающую массой.

Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным.

Способность тел сопротивляться изменению их формы и размеров называется жесткостью.

Мера механического действия одного материального тела на дру­гое называется силой. Сила - величина векторная. Она определяет­ся, во-первых, числовым значением (модулем), во-вторых, точкой приложения (местом контакта взаимодействующих тел), в-третьих, направлением действия.

В Международной системе единиц (СИ) сила выражается в ньюто­нах (сокращенное обозначение Н).1Н - небольшая сила, поэтому часто употребляют кратные единицы - килоныотон (1 кН = 10³ Н) и меганьютон (1 МН = 10⁶ Н).

Как всякий вектор, силу можно изобразить графически в виде направленного отрезка.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

Несколько сил, действующих на какое-либо одно твердое тело, называется системой сил.

Силы, действующие на твердое тело со стороны других тел, на­зываются внешними. Силы, действующие на материальные точки твер­дого тела со стороны других точек того же тела, называются внут­ренними.

1.1.2. Аксиомы статики

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная ма­териальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения точки называют равновесием.

Аксиома 2 (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, образуют уравновешенную систему только тогда, когда они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 3 (принцип присоединения и исключения уравно­вешенных сил). Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие 1. Силу, приложенную к твердому телу, мож­но переносить вдоль линии ее действия в любую другую точку, действие силы на тело при этом не нарушится.

Свойство вектора силы справедливо только в теоретической ме­ханике (механике абсолютно твердого тела).

Аксиома 4 (правило параллелограмма). Две приложенные к точке тела силы имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Две силы и приложены к разным точкам тела, но линии их действия лежат в одной плоскости.

Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие этого тела не нару­шится, если, не изменяя формы, размеров, положения в пространст­ве, оно превратится в абсолютно твердое тело, т.е. затвердеет.

1.1.3. Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещать­ся в пространстве в любом направлении. В качестве примера сво­бодного тела приведем летящий воздушный шар или ракету в космо­се. Твердое тело называется несвободным, если его перемещение в пространстве ограничено какими-либо другими телами.

Все тела, которые, так или иначе ограничивают перемещение дан­ного тела, называются его связями.

Задача определения реакций связей - одна из основных задач статики.

Некоторые разновидности связей и правила определения их реак­ций.

I. Свободное опирание тела о связь.

Тело изображено в виде бруска, а связь заштрихована.

2.Гибкая связь. Реакции нитей или цепей всегда направлены вдоль самих связей в сторону от тела к связи.

3. Стержневая связь. Реакции стержневых связей направлены вдоль прямой, проходящей через оси концевых шарниров.

4. Шарнкрно-подвижная опора представля­ет собой видоизменение свободного опирания.

6.Шарнирно-неподвижная опора дает возможность телу свободно поворачиваться около шарнира, но пре­пятствует поступательному перемещению тела в любом направлении, перпендикулярном оси шарнира.

Т е м а 1.2

Плоская система сходящихся сил

1.2.1. Сложение плоской системы сходящихся сил.

Геометрическое условие равновесия.

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называется плоской системой схо­дящихся сил. Если силы сходящейся системы приложены к разным точкам тела, то, по первому следствию из аксиом статики, каждую силу можно перенести в точку пересечения линий действия и по­лучить эквивалентную систему сил, приложенных к одной точке.

Две силы, приложенные к одной точке тела, образуют простей­шую плоскую систему сходящихся сил (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости).

Рассмотрим систему сил , приложенных в точке А. Требуется найти их равнодействующую.

Применив правило силового треугольника, сложим силы и . Для этого из конца вектора отложим вектор и, соединив точки А и С, получим геометрическую сумму (равнодейст­вующую) сил и :

Теперь сложим силу с силой . Для этого из конца вектора ВС= отложим вектор и, соединив точки А и D, по­лучим равнодействующую трех сил :

где — искомая равнодействующая

Порядок построения сторон силового многоугольника не влияет на окончательный результат.

Чтобы уравновесить систему сил, достаточно к ней добавить еще одну силу, численно равную равнодействующей, но направленную в противоположную сторону.

.

В геометрической форме необходимое и достаточное условие рав­новесия системы сходящихся сил: система сходящихся сил уравнове­шена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут.

1.2.2. Определение равнодействующей системы

сходящихся сил методом проекций.

Аналитическое условие равновесия.

Вместо построения силового многоугольника равнодействующую

системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее находят вычислением с помощью метода проекций, который обычно называется аналитическим.

Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущен­ными из начала и конца вектора . Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси;

Рассмотрим теперь определение равнодействующей системы сходя­щихся сил методом проекций.

Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE. , в котором вектор

- искомая равно­действующая данной системы.

Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси.

Эти равенства короче записываются так:

,

где - знак суммы, а индекс к принимает последовательно зна­чения от 1 до n по числу сходящихся сил, равнодействующую кото­рых определяем.

Таким образом, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на каждую из осей координат равна алгебраической сумме про­екций составляющих сил на ту же ось.

и .

В аналитической форме условие равновесия плоской системы схо­дящихся сил: для равновесия плоской системы сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны нулю.

Т е м а 1.3

Теория пар сил на плоскости

1.3.1. Пара сил. Эквивалентность пар сил.

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направлен­ных в противоположные стороны, называется парой сил или просто парой. Понятие о паре сил ввел в механику французский ученый Луи Пуансо (1777-1859).

Пара сил - неуравновешенная система и не имеет равнодейству­ющей. Пара сил производит на тело вращательное действие.

Вращательный эффект пары измеряется взятым со знаком плюс или минус произведением модуля одной из сил пары на ее плечо (момент пары), т.е.

Знак «плюс» ставится перед числовым значением момента в том случае, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и знак «минус» если пара стремится повернуть тело по хо­ду часовой стрелки.

В Международной системе единиц (СИ) моменты пар выражаются в или .

Вращательное действие расположенной в данной плоскости пары зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил до­статочно указать числовое значение ее момента, а затем по данно­му или выбранному плечу можно определить силы пары или по силам подобрать необходимое плечо. Исходя из этого, на рисунках и схе­мах пары сил изображают иногда просто круговой стрелкой, харак­теризующей лишь направление вращающего действия. Например, пары ( ) и ( ), приложенные к брусу, можно условно изобразить круговыми стрелками, обозначив их и .