16. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , kсоответственно (см. рис. 12).

 

Выберем произвольный вектора пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора ана координатные оси. Проведем через конец вектораОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является векторОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_zа=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM.

А так как M ₁N=OM ₂ , NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂+ ОМ₃                                             (5.1)

 

Обозначим проекции вектораа=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=a_xi+a_yj+a_zk            (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_zназываются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (a_x ;a_y ;a_z).

Равенство b = (b_x ;b_y ; b_z ) означает, что b = b_х•i+b _у •j + b_z • k . Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

   

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a,b,g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа    называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектораe являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

16. Действия над векторами, заданными проекциями.

Пусть векторы а=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = а_х •i + а_у • j +а_z • k,    b =b_х • i + b_у • j + b_z • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1.          а ± b = (а_х±b_х)i + (а_у±b_y)j + ( a_z± b_z)k, или кратко а ± b = (а_х ±b_x; a_y± b_y; a_z ± b_z). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2.           l  а = l а_х • i + l а_у • j + l  a_z • k или короче l  а = (lа_х; lа_у; lа_z). То есть при умножении вектора на скаляр координатывектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: a_х= b_х; а_у=b_y; a_z= b_z  ,т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектораОМназываются координатами точки М. ВекторОМназывается радиус-вектором точки

М, обозначается r , т. е. ОМ= r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

 

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).

Координаты вектораНайдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A( x₁; y₁; z₁) и В( x₂;у₂; z₂). Имеем (см. рис. 13):

         AB=OB-OA=(x₂i+y₂j+z₂k)-(x₁i+y₁j+z₁k)=(x₂ - x₁)i+(y₂ - y₁)j+(z₂ - z₁)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х₂-х₁;у₂-у₁; z₂- z₁).