14. Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножениевектора на число.

Пусть а и b— два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим векторОА=а. От точки А отложимвекторАВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторова и b :ОB=а+b (см. рис. 2)

.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелoграмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, bи с.

 

Под разностью векторова и b понимается вектор с=а-bтакой, что b+с=а (см. рис. 5).

 

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и bодна направленная диагональ является суммой векторов а иb , адругая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: а - b = а + (-b ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектораа с вектором, противоположным векторуb .

Произведением вектораа на скаляр (число) λ  называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину    |λ|*|а|, коллинеаренвекторуа, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведениявектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если b=λ * а , то b|| а . Наоборот, если b ||а , (а¹0 ), то при некотором λ  верно равенство b = λа ;

2)    всегда а =|а | • а ^-о , т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 2.     (а +b) +с=а + (b +с), 3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

15. Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка М₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ¹0). Обозначим через А₁ и b ₁проекции на ось l соответственно начала А и конца ВвектораАВ и рассмотрим векторА₁В₁

Проекцией вектораАВ на ось l называет ся положительное число |A₁B ₁ | , если векторА ₁В ₁ и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A ₁B ₁ | , если векторА ₁В₁ и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a ₁и b₁совпадают (А ₁В ₁ =0), то проекция вектора АВ равна 0.

Проекция вектораАВ на ось l обозначается так: пр_lАВ. Если АВ=0или АВ^l , то пр_lАВ=0.

Угол j  между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,0£j£p

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Свойство 1. Проекция вектораa на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла j  между вектором и осью, т. е. пр_la =|a |•cosj .

Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

Свойство 3. При умножении вектораа на число А его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.