- •1.Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.
- •4.Тригонометрическая форма записи комплексного числа.Формула Муавра.
- •3. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •5.Извлечение корня из комплексного числа.
- •7. Основная теорема. Следствие из основной теоремы.
- •6. Понятие многочлена. Наибольший общий делитель.
- •8. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •9. Закон инерции.
- •10. Вещественное евклидовое пространство и его простейшие свойства.
- •11.Ортонормированный базис конечномерного евклидового пространства.
- •12. Неравенство Коши - Буняковского.
- •13. Понятие нормы.
- •14.Линейный оператор. Действия над линейными операторами.
- •15. Ядро линейного оператора. Основные св-ва.
- •16.Образ линейного оператора. Основные свойства.
- •17.Ранг линейного оператора. Основные св-ва.
- •18.Матричная запись линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
- •23.Группа.Свойства групп.
- •26.Циклические группы.
14.Линейный оператор. Действия над линейными операторами.
Оператор А,действующий из линейного пространства V в линейное пространство W называется линейным оператором, если одновременно выполняется:
A(x1+x2)=A(x1)+A(x2) - адитивность
постоянную величину можно выносить за знак оператора: (λА)(х)=λ(Ах) – однородность
Линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве будем называть конечномерным линейным оператором.
Действия над лин. операторами: сложение (А+В)х=Ах+Вх (люб.х€V), умножение на число (λА)х=λ(Ах), умножение операторов, возведение в положительную степень, соответствующие действия с их матрицами.
15. Ядро линейного оператора. Основные св-ва.
Ядром линейного оператора А, действующего в линейном пространстве V называют множество таких векторов Х пространства V, которые линейные оператор А переводит в нулевой вектор пространства V.
Обозначение: KerA={х€VlAх=0}
KerA<V (т.е ядро является подпространством линейного пространства V)
Дефектом конечномерного линейного оператора А называется размерность ядра оператора А. Обознач.: defA=dim(KerA)
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:
сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:
Def(A) + Rg(A) = n;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.
16.Образ линейного оператора. Основные свойства.
Образом линейного оператора А называется множество всех векторов y€V ,таких, что у=Ах, где x "пробегает" всю область определения оператора А ,т.е. образ — это область значений оператора).
Обозн.: imA={y€V: у=Ах}
Замечание: imA<V (Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства V) .
]V линейное пространство
Dim V=n (размерность линейного пространства V=n)
A:V→V A-линейный оператор.
Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства V .
17.Ранг линейного оператора. Основные св-ва.
Рангом конечномерного линейного оператора называется размерность образа оператора А.
Обозначение: rang A=dim(im A)
Теорема о ранге и дефекте. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности dim V пространства V:
dim(imA) + dim(KerA)=n
rang A+def A=n
Замечание. rangоператора A совпадает с рангом матрицы А в базисе (e) пространства V. (dimV=n)
rang A= rangА(е) .